1 若fx(x)= ,-0<x<+o0,则Y=X2的概率密度为 1 0, y≤0 从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)的过程中，关键的一步是设法从{g()≤y} 中解出X从而得到与g)≤y)等价的X的不等式.例如，用X≤”=8 代替2X+8≤y用-J少≤X≤√下代替X≤y这样做是为了利用已知的X的分 布，从而求出相应的概率.这是求V的函数的分布的一种常用方法。 设随机变量X的概率密度为 2x fx(x)= ,0<x< 0,其他 求Y=sinX的概率密度 解注意到0<x<π时，0<y≤1 所以y≤0时，(y)=0 y21时，y)=1 当0<y≤1时， Fy)=PY≤y)=P(sinX≤y) =P(O≤X≤arcsiny)+P(π-arcsiny≤x≤π) 2 -小小 (arcsin-arcsin 而0)=50巴，求导得 2 f(y)= 0,其他 例5己知随机变量X的分布函数下(x)是严格单调的连续函数，证明Y=F()服从[0,1]上 的均匀分布 证明：设Y的分布函数是G(y),由于0<y<1 于是对y>1,G(y)=1:对y<0,G(y)=0: 又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数 其反函数下-1存在且严格递增 若 ( ) X f x = 2 2 1 2 x e  − , −   + x ,则 2 Y X = 的概率密度为 ( ) Y f y = 1 2 2 1 , 0 2 0, 0 y y e y y y  − −       从上述两例中可以看到，在求 P(Y≤y) 的过程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y } 中解出 X,从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的 X 的不等式 . 例如，用 8 2 y X −  代替 2 8 X y +  用 −   y X y 代替 2 X y  这样做是为了利用已知的 X 的分 布，从而求出相应的概率.这是求 r.v 的函数的分布的一种常用方法. 例4 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) X f x = 2 2 , 0 0, x x          其他 求 Y=sinX 的概率密度. 解 注意到 0  x  时, 0 1   y 所以 y  0 时, ( ) Y f y =0 y  1 时, ( ) Y f y =1 当 0 1   y 时, ( ) F y Y = P Y y ( )  = P X y (sin )  = P X y (0 arcsin )   + P y x ( arcsin )   −   = arcsin 2 0 y 2x dx   + 2 arcsin 2 y x dx   −   = arcsin 2 ( ) y  arcsin 2 1 ( )  y  − + − 而 ( ) Y f y = ( ) Y dF y dy ,求导得 ( ) Y f y = 2 2 , 0 1 1 0, y  y      −   其他 例 5 已知随机变量 X 的分布函数 F(x)是严格单调的连续函数,证明 Y=F(X)服从[0,1]上 的均匀分布 证明: 设 Y 的分布函数是 G(y), 由于 0<y<1 于是 对 y>1, G(y)=1; 对 y<0 , G(y)=0; 又由于 X 的分布函数 F 是严格递增的连续函数, 其反函数 F-1 存在且严格递增