m(4)≤if∑小1是一列有界开区间并且AcU}≤m(4)+26 由于E>0是任意的,故(2)成立 L可测集与L测度的逼近我们知道G型集和F型集都是 Borel集,当然也是L 可测集.下面我们进一步考察L可测集的构造 定理6设A为R中的L可测集.则 (i)对任意E>0,存在开集G彐A,使得m(G-A)<E (i).对任意E>0,存在闭集FcA,使得m(A-F)<E.若 m(A)<+∞,则F可以取为是有界闭集 (i)存在G型集G→A,使得m(G-A)=0 (iv)存在F型集FcA,使得m(A-F)=0 证明(1)先设m(A)<+∞.由定理5,存在一列覆盖A开方体{n}使得 Jn|<m(4)+E 令G=Un,则G为开集G=A并且 m()s∑m(ln)=∑n<m(A)+E 于是得到 m(G-A=m(G)-m(a)<a. 现在设m(A)=+∞.设{E}一列互不相交的L可测集,使得m(E)<+∞并且 R"=UE,令A=A∩E,121.则m(4)<+并且A=∪A.由上面所证的结果 对每个,存在开集G4,使得m(G-4)<%令G=U,则G是开集 GA.由于 A=UG - CU(G-A,), 我们有m(G-A)≤∑m(G-4)<E (i)由于A也是可测集,根据(1)的结果,存在开集GA°,使得m(G-A°)<E64 ( ) inf :{ } ( ) 2ε 1 1 , ≤ +       ≤ ⊂ ∗ ∞ = ∞ = ∗ m A ∑ I I A I m A i i i i i 是一列有界开区间 并且 U . 由于ε > 0是任意的, 故(2)成立. L 可测集与 L 测度的逼近 我们知道Gδ型集 和 Fσ型集都是 Borel 集, 当然也是 L 可测集. 下面我们进一步考察 L 可测集的构造. 定理 6 设 A 为 n R 中的 L 可测集. 则 (i).对任意ε > 0, 存在开集G ⊃ A, 使得m(G − A) < ε. (ii). 对任意 ε > 0, 存在闭集 F ⊂ A, 使 得 m(A − F) < ε. 若 m(A) < +∞, 则 F 可以取为是有界闭集. (iii).存在Gδ型集 G ⊃ A, 使得m(G − A) = 0. (iv).存在 Fσ型集 F ⊂ A, 使得m(A − F) = 0. 证明 (i).先设 m(A) < +∞. 由定理 5, 存在一列覆盖 A 开方体{ }n I 使得 ( ) . 1 ∑ < + ε ∞ = I m A n n 令 , 1 U ∞ = = n n G I 则 G 为开集, G ⊃ A并且 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ≤ ∑ = ∑ < + ε ∞ = ∞ = m G m I I m A n n n n 于是得到 m(G − A) = m(G) − m(A) < ε. 现在设 m(A) = +∞ . 设 { } Ei 一列互不相交的 L 可测集 , 使 得 m(Ei) < +∞ 并 且 n R U ∞ = = i 1 Ei . 令 A = A ∩ E , i ≥ 1. i i 则 m(Ai) < +∞ 并且 . 1 U ∞ = = i A Ai 由上面所证的结果, 对每个 i , 存在开集 . 2 , ( ) Gi Ai m Gi Ai i ⊃ 使得 − < ε 令 . 1 U ∞ = = i G Gi 则 G 是开集, G ⊃ A. 由于 ( ), 1 1 1 U U U ∞ = ∞ = ∞ = − = − ⊂ − i i i i i i G A Gi A G A 我们有 ( ) ( ) . 1 − ≤ ∑ − < ε ∞ i= m G A m Gi Ai (ii). 由于 c A 也是可测集, 根据(1)的结果, 存在开集 , c G ⊃ A 使得 ( − ) < ε. c m G A