令F=G,则F是闭集并且FcA.由于 A-F=A∩F=(A)∩G=G-A (6) 于是得 m(A-F)=m(G-A°)<E 现在设m(A)<+∞.先取一个闭集E∈A,使得m(A-E)<.令E=S(0,k)是中心 在原点,半径为k的闭球,则E∩E个并且E=U(E∩E)于是 im(E∩EA)=m(U(E∩E)=m(E) 因此存在k使得m(E)-m(E∩E)<令F=E∩E,则F是有界闭集,FCA 并且 m(40)-m)=m(4-B)+m-)<2+2=E i)由于(),对任意k,存在开集GA,使得m(G-<1,令G=∩G 则G为G型集,G=A并且mG-4)<1.令k→+,即得mG-A)=0 (iv)由(i)的结果,存在G型集G使得GA并且m(G-A)=0.令F=G°, 则F为F型集,FcA并且(6)成立.于是有得到 m(A-F)=m(G-A)=0 推论7若A为R”中的L可测集.则 m(A)=inf{m(G):G是开集并且G=A m(A)=sup{m(F):F是有界闭集并且FcA} 证明推论的结论不难由定理6得到,详细过程从略.证毕 由于L测度具有上述推论所述的性质,我们称L测度是正则的 例3设A是R中的L可测集并且m(A)<+∞.则对任意E>0,存在有限个开区间 的并集U,使得m(AAU)<E 证明由定理2.36,任意E>0,存在开集GA,使得m(G-A)<.由直线上开 集的构造定理,存在一列互不相交的开区间{(an,b)使得G=U(an,b)由于 m(A)<+∞知道m(G)<+.于是∑(b-a1)=m(G)<+.因此可以取n足够大使65 令 , c F = G 则 F 是闭集并且 F ⊂ A. 由于 ( ) . c c c c A − F = A ∩ F = A ∩G = G − A (6) 于是得 ( − ) = ( − ) < ε. c m A F m G A 现在设 m(A) < +∞. 先取一个闭集 E ⊂ A, 使得 . 2 ( ) ε m A − E < 令 E S(0, k) k = 是中心 在原点, 半径为k 的闭球, 则 E ∩ Ek ↑并且 ( ). 1 U ∞ = = ∩ k E E Ek 于是 lim ( ) ( ( )) ( ). 1 m E E m E E m E k k k k ∩ = ∩ = ∞ = →∞ U 因此存在 0 k 使得 . 2 ( ) ( ) 0 ε m E − m E ∩ Ek < 令 , 0 F = E ∩ Ek 则 F 是有界闭集, F ⊂ A. 并且 . 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε m A − m F = m A − E + m E − F < + = (iii).由于 (i), 对任意 k , 存在开集 G A, k ⊃ 使得 . 1 ( ) k m Gk − A < 令 . 1 I ∞ = = k G Gk 则 G 为Gδ型集 , . 1 ( ) k G ⊃ A并且m Gi − A < 令 k → +∞, 即得m(G − A) = 0 . (iv).由 (iii) 的结果, 存在Gδ型集 G 使得 ⊃ ( − ) = 0. c c G A 并且m G A 令 , c F = G 则 F 为 Fσ型集, F ⊂ A.并且 (6)成立. 于是有得到 ( − ) = ( − ) = 0. c m A F m G A 推论 7 若 A 为 n R 中的 L 可测集. 则 m(A) = inf{m(G) : G是开集并且G ⊃ A}. m(A) = sup{m(F) : F 是有界闭集并且F ⊂ A}. 证明 推论的结论不难由定理 6 得到, 详细过程从略. 证毕. 由于 L 测度具有上述推论所述的性质, 我们称 L 测度是正则的. 例 3 设 A 是 1 R 中的 L 可测集并且m(A) < +∞. 则对任意ε > 0,存在有限个开区间 的并集U , 使得m(A∆U) < ε. 证明 由定理 2.3.6, 任意ε > 0, 存在开集G ⊃ A, 使得 . 2 ( ) ε m G − A < 由直线上开 集的构造定理 , 存在一列互不相交的开区间 {( , )} i i a b 使 得 ( , ). 1 U ∞ = = i G ai bi 由 于 m(A) < +∞ 知道 m(G) < +∞. 于是 ( ) ( ) . 1 ∑ − = < +∞ ∞ = b a m G i i i 因此可以取 n 足够大使