得∑-a)<2令U=Ua1,b)则m(G-U)<5,我们得到 m(AAU)=m(A-0)+m(U-A ≤m(G-U)+m(G-A)< 下面的定理8表明 Lebesgue测度具有平移不变性,其证明留作习题 定理8设A是R”中的L可测集,x0∈R”,则x0+A是L可测集并且 m(o+ A)=m(a) 其中x0+A={x+x:x∈A Lebesgue-Stieltjes测度下面讨论 Lebesgue测度的推广即 Lebesgue-Stieltjes测度.我们 仅讨论R的情形 设F是定义在R上的单调增加的右连续实值函数.令 R={4=∪(an,b](a,b]…(a,b互不相交k21 则是一个环(见§13例3)对任意A∈,若A的一个分解式为A=∪(a,b]则令 (A)=∑(F(b)-F(a) 则μ是定义在?上的非负值集函数.类似于定理2的证明(需要作必要的修改,读者可 以自行考虑),可以证明pp是上的测度.设F是由H导出的外测度,是F可测 集的全体所成的a-代数由§22定理5,山是上的测度,称之为由F导出的 Lebesgue-Stieltjes测度,简称为LS测度.今后将延拓后的测度F仍记为pp.由§2.2定 理10,R关于测度F是完备的由§22定理5,(R)=a()c界”.因此山至少 在(R)有定义显然 Lebesgue测度m就是 Lebesgue-Stieltjes测度山p当F(x)=x时 的情形 由LS测度的定义,对直线上的每个有界左开右闭区间(a,b],有 uF(a,b )=F(b)-F(a) (上式的物理意义是,如果F(x)表示分布在区间(-∞,x]上的质量,则4(a,b])表示分 布在区间(a,b上的质量)利用(8)式和测度的性质,容易计算出其它类型的区间、有限 集和可数集的L-S测度 例4设F(x)={2当≤x<2,则F(x)是单调增加的右连续函数计算66 得 . 2 ( ) 1 ε ∑ − < ∞ i=n+ bi ai 令 ( , ), 1 U n i U ai bi = = 则 . 2 ( ) ε m G −U < 我们得到 .. 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε ≤ − + − < + = ∆ = − + − m G U m G A m A U m A U m U A 下面的定理 8 表明 Lebesgue 测度具有平移不变性, 其证明留作习题. 定理 8 设 A 是 n R 中的 L 可测集, x0 ∈ n R , 则 x0 + A 是 L 可测集并且 ( ) ( ). m x0 + A = m A 其中 { : }. x0 + A = x0 + x x ∈ A Lebesgue-Stieltjes 测度 下面讨论 Lebesgue 测度的推广即 Lebesgue-Stieltjes 测度. 我们 仅讨论 1 R 的情形. 设 F 是定义在 1 R 上的单调增加的右连续实值函数. 令 { ( , ]: ( , ], ,( , ] , 1}. 1 1 1 = = ≥ = A a b a b a b k k k k i R U i i L 互不相交 则R 是一个环(见 1.3 例 3). 对任意 A∈ R ,若 A 的一个分解式为 ( , ], 1 U k i A ai bi = = 则令 ( ) ( ( ) ( )). 1 ∑= = − k i F i i µ A F b F a (7) 则 µ F 是定义在R 上的非负值集函数. 类似于定理 2 的证明(需要作必要的修改, 读者可 以自行考虑), 可以证明 µ F 是R 上的测度. 设 ∗ µ F 是由 µ F 导出的外测度, ∗ R 是 ∗ µ F 可测 集的全体所成的σ − 代数. 由 2.2 定理 5, ∗ µ F 是 ∗ R 上的测度, 称之为由 F 导出的 Lebesgue-Stieltjes 测度, 简称为 L-S 测度. 今后将延拓后的测度 ∗ µ F 仍记为 µ F . 由 2.2 定 理 10, ∗ R 关于测度 µ F 是完备的. 由 2.2 定理 5, ( ) = 1 B R σ (R ) ⊂ ∗ R . 因此 µ F 至少 在 ( ) 1 B R 有定义. 显然 Lebesgue 测度m 就是 Lebesgue-Stieltjes 测度 µ F 当 F(x) = x 时 的情形. 由 L-S 测度的定义, 对直线上的每个有界左开右闭区间(a,b], 有 ((a,b]) F(b) F(a). µ F = − (8) (上式的物理意义是, 如果 F(x) 表示分布在区间(−∞, x] 上的质量, 则 ((a,b]) µ F 表示分 布在区间 (a,b] 上的质量). 利用(8)式和测度的性质, 容易计算出其它类型的区间 有限 集和可数集的 L-S 测度. 例 4 设      ≥ ≤ < < = . 2 2 1 2, 0 1, ( ) 2 x x x x F x 当 当 当 则 F(x) 是单调增加的右连续函数. 计算