F(0,1),pF(0,+∞)和F({) 解利用测度的下连续性和可减性,我们有 4(0.1)=4(U(0-1)=lm(0,1-1]) =lim(F(1-)-F(0)=0 H(0,+∞)=H(U(0,n)=limp(O.,m)=lim(n2-0)=+0 F({1)=H(0,1)-1(0,1)=F()-F(0)-0=2 Lebesgue不可测集最后我们给出一个 Lebesgue不可测集的例子.由于R"中的常 见的集都是通过一些方体经过有限或者可数次并交余和差运算得到的,由定理233,这 样的集都是 Borel集,因而也是L可测集.因此要构造一个 Lebesgue不可测集是不容易的 下面的例子要用到关于等价关系的知识和 Zermelo选取公理.在本书附录I已有介绍 例5 Lebesgue不可测集的例.对任意x,y∈[O,],若x-y是有理数,则记为x~y 容易验证关系“~”是区间[O1上的一个等价关系.因此这个等价关系“~”将[0,1分成 一些互不相交的等价类.根据 Zermelo选取公理,存在[0,1的一个子集E,使得E与每个 等价类只交于一点我们证明E不是L可测的 设{n}是[-1中的有理数的全体对每个n,令En=n+E.则集列{En}具有如 下性质: (1).当m≠n时,Em∩En=.若不然,设x∈En∩En,则x-rm∈E, x-n∈E.由于x--(x-)=rn-m是有理数,因此x-rm和x-属于同一等 价类.但x-rm≠x-Fn这样E就包含了同一等价类中的两个不同的元这与E的性质 矛盾!因此En∩En= (2)成立如下包含关系 [O,]CUE C[12] 事实上,设x∈[0,1]由E的性质,E应包含x所在的等价类中的某一元y.由于x和y 在同一等价类中,故r=x-y是一有理数.由于-1≤r≤1,故r是{n}中的某一数,设 r=则x=+y∈E因此[01lc∪En至于包含关系∪E,c[-12]是显然的 现在用反证法.假定E是L可测的.由定理8,每个E,是L可测的,并且 m(En)=m(E).由测度的可数可加性,我们有67 ((0, 1)), µ F ((0, + ∞)) µ F 和 ({1}). µ F 解 利用测度的下连续性和可减性, 我们有 ) (0)) 0. 1 lim( (1 ] ) 1 ]) lim ((0 ,1 1 ((0, 1)) ( (0 ,1 1 = − − = = − = − →∞ →∞ ∞ = F n F n n n F n n µ F µ F U µ ((0, )) ( (0 , ]) lim ((0, )) lim( 0) . 2 1 + ∞ = = = − = +∞ →∞ →∞ ∞ = n n n n F n n µ F µ F U µ ({1}) = ((0, 1]) − ((0, 1)) = F(1) − F(0) − 0 = 2. µ F µ F µ F Lebesgue 不可测集 最后我们给出一个 Lebesgue 不可测集的例子. 由于 n R 中的常 见的集都是通过一些方体经过有限或者可数次并,交,余和差运算得到的, 由定理 2.3.3 , 这 样的集都是 Borel 集, 因而也是 L 可测集. 因此要构造一个 Lebesgue 不可测集是不容易的. 下面的例子要用到关于等价关系的知识和 Zermelo 选取公理. 在本书附录 I 已有介绍. 例 5 Lebesgue 不可测集的例. 对任意 x, y ∈[0,1], 若 x − y 是有理数, 则记为 x ~ y. 容易验证关系 ~ 是区间[0,1]上的一个等价关系. 因此这个等价关系 ~ 将[0,1]分成 一些互不相交的等价类. 根据 Zermelo 选取公理, 存在[0,1]的一个子集 E, 使得 E 与每个 等价类只交于一点. 我们证明 E 不是 L 可测的. 设{ }nr 是[−1,1]中的有理数的全体. 对每个 n, 令 E r E. n = n + 则集列{ } En 具有如 下性质: (1). 当 m ≠ n 时 , ∩ = ∅. Em En 若不然 , 设 , Em En x ∈ ∩ 则 x r E, − m ∈ x r E. − n ∈ 由于 m n n m x − r − (x − r ) = r − r 是有理数, 因此 m x − r 和 n x − r 属于同一等 价类. 但 . m n x − r ≠ x − r 这样 E 就包含了同一等价类中的两个不同的元. 这与 E 的性质 矛盾! 因此 ∩ = ∅. Em En (2). 成立如下包含关系: [0,1] [ 1,2]. 1 ⊂ ⊂ − ∞ = U n En 事实上, 设 x ∈[0,1]. 由 E 的性质, E 应包含 x 所在的等价类中的某一元 y. 由于 x 和 y 在同一等价类中, 故 r = x − y 是一有理数. 由于 −1 ≤ r ≤ 1, 故 r 是{ }nr 中的某一数, 设 . n0 r = r 则 . n0 n0 x = r + y ∈ E 因此[0,1] . 1 U ∞ = ⊂ n En 至于包含关系 [ 1,2] 1 ⊂ − ∞ = U n En 是显然的. 现在用反证法. 假定 E 是 L 可测的. 由定理 8, 每个 En 是 L 可测的, 并且 m(E ) m(E). n = 由测度的可数可加性, 我们有