例4设矩阵A满足A2=A(这样的矩阵叫做幂等矩阵)，证 明A的特征值只能是0或1. 证设2为A的任一特征值，a是A对应于几的特征向量.于是 a≠0，且有 Aa=入a 利用已知条件又可得 Aa=Aa=A0a)=1(Aa）=λ2a, 于是有 12a=1a, 即 (2-2)a=0, 因为，0≠0所以必有22-1=0，即2=0或几=1· 1010 例4 设矩阵 满足 （这样的矩阵叫做幂等矩阵），证 明 的特征值只能是0或 1． A A  A 2 A 证 设 为 的任一特征值， 是 对应于 的特征向量．于是 ，且有  A α A  α  0 Aα  λ α 利用已知条件又可得 Aα A α A α Aα α 2 2   (λ ) λ ( ) λ ， ， 于是有 λ α λ α 2 即 (  )α  0 2   . 因为 ，α  0 所以必有 2    0，即  0 或   1 ．