第十一章微分方程 故选B. 例11(00研)设对于半空间x>0内任意光滑有向封闭曲面S都有 ∯rMt-/rth-e”:d=0, 其中函数fx)在(0，+o)内具有连续的一阶导数，且1mf)=1,求f) 解不失一般性，假设曲面S取外侧，设所围成的立体为Ω，根据高斯公式，有 ∯xwt-yet-e:hd =+f-)-e产=0， 由S的任意性，知 f'(x)+fx)-y(x)-e=0, 即 f)+(g-W=e2, 此为一阶线性非齐次方程，解得其通解为 f=e可e+c=ge+O. p=p产+)= 故im(e2+Ce)=0,即有C+1=0,得c=-l,于是 Au)-e-. 例12求方程虫=6之-9少的通解。 分折原方程可写成盘=以，这是-2时的伯好利方程 dx x 解令：广=，得会-少安代入原方程则有会+，即 dx 此为一阶线性非齐次方程，利用一阶线性非齐次方程的通解公式求得其通解为 第十一章 微分方程 385 故选 B． 例 11（00 研） 设对于半空间 x  0 内任意光滑有向封闭曲面 S 都有 2 ( ) ( ) 0 x S xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy − − =  ， 其中函数 f x( ) 在 (0, ) + 内具有连续的一阶导数，且 0 lim ( ) 1 x f x → + = ，求 f x( ) ． 解 不失一般性，假设曲面 S 取外侧，设 S 所围成的立体为  ，根据高斯公式，有 2 ( ) ( ) x S xf x dydz xyf x dzdx e zdxdy − −  2 ( ( ) ( ) ( ) )x xf x f x xf x e dv  = + − −   = 0 ， 由 S 的任意性，知 2 ( ) ( ) ( ) 0 x xf x f x xf x e  + − − = ， 即 1 1 2 ( ) ( 1) ( ) x f x f x e x x  + − = ， 此为一阶线性非齐次方程，解得其通解为 1 1 (1 ) ( 1) 1 2 ( ) [ ] ( ) x dx dx x x x x e f x e e e dx C e C x x − −   = + = +  ． 又 2 0 0 lim ( ) lim( ) 1 x x x x e Ce f x x → → + + + = = ， 故 2 0 lim( ) 0 x x x e Ce → + + = ，即有 C + =1 0 ，得 C = −1 ，于是 ( ) ( 1) x e x f x e x = − ． 例 12 求方程 2 6 dy y xy dx x = − 的通解． 分析 原方程可写成 dy 6 2 y xy dx x − = − ，这是 n = 2 时的伯努利方程． 解 令 1 1 n z y y − − = = ，得 dz dy 2 y dx dx − = − ，代入原方程则有 dz dx = 6 z x x − + ，即 dz 6 z x dx x + = ， 此为一阶线性非齐次方程，利用一阶线性非齐次方程的通解公式求得其通解为