第十一章微分方程 将“=士代入上式得该方程通解为 x=Cy+ylnlyl. 茶法2原方程可变形为停，此为价成准木衣方起其中0)：一子 Q)=1,由一阶线性非齐次方程的通解公式，可求得通解为 x=Cy+yInlyl. 例10设曲线积分 [[f(x)-e']sinydx-f(x)cosydy 与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数且fO)=0,且cosy不恒等于零，则f(x)等 于(）. A.(e-e). B.(e-e). C.(e'+e)-1. D.1-e+e) 分析由曲线积分 [[f(x)-e']sinydx-f(x)cosydy 与路径无关的充分必要条件可知， 会-a-/-e小sm 从而可得关于x)的微分方程，解此微分方程即可. 解由题设可得 云-/@ea=U-e1Bsm 于是结合cosy不恒等于零，即得 f'(x)+fx)=e', 解得 =G+C). 由0)=0得C=号故有 )-e 2 384第十一章 微分方程 384 将 y u x = 代入上式得该方程通解为 x Cy y y = + ln | | ． 解法 2 原方程可变形为 1 1 dx x dy y − = ，此为一阶线性非齐次方程，其中 1 P y( ) y = − ， Q y( ) 1 = ，由一阶线性非齐次方程的通解公式，可求得通解为 x Cy y y = + ln | | ． 例 10 设曲线积分 [ ( ) ]sin ( )cos x L f x e ydx f x ydy − −  与路径无关，其中 f x( ) 具有一阶连续导数且 f (0) 0 = ，且 cos y 不恒等于零，则 f x( ) 等 于（ ）． A． 1 ( ) 2 x x e e − − ． B． 1 ( ) 2 x x e e − − ． C． 1 ( ) 1 2 x x e e − + − ． D． 1 1 ( ) 2 x x e e − − + ． 分析 由曲线积分 [ ( ) ]sin ( )cos x L f x e ydx f x ydy − −  与路径无关的充分必要条件可知， ( ( )cos ) ([ ( ) ]sin ) x f x y f x e y x y   − = −   ， 从而可得关于 f x( ) 的微分方程，解此微分方程即可． 解 由题设可得 ( ( )cos ) ([ ( ) ]sin ) x f x y f x e y x y   − = −   于是结合 cos y 不恒等于零，即得 ( ) ( ) x f x f x e  + = ， 解得 1 2 ( ) ( ) 2 x x f x e e C − = + ． 由 f (0) 0 = 得 1 2 C = − 故有 ( ) 2 x x e e f x − − =