第十一章微分方程 2.u=2x+C 即有 x-y=C, 其中C为任意常数. 例8求做分方程安3y=产的解。 分析这是一阶非齐次线性方程，可用常数变易法，也可直接利用公式. 解法1套用公式直接求其通解.这里P(x)=3,Qx)=e2,将其代入公式 y=ea恤eea恤+CO, 得原方程的通解为 y-ef f+c)=+ce. 解法2用常数变易法求其通解。其对应的齐次线性方程为安+3少=0，分离变量 后求得其通解为y=Ce,假设y=C(x)e是原方程的解，代入原方程得C(x)=e, 积分则有 C()=+C 故原方程的通解为 例9求微分方程客古的解。 解法1原方程化为少。工 恋4此为济次方程，令，得 业+x=1* 分离变量有( 。, 383 第十一章 微分方程 383 1 2 2 u x C = + ， 即有 x xy C − = ， 其中 C 为任意常数． 例 8 求微分方程 2 3 dy x y e dx + = 的解． 分析 这是一阶非齐次线性方程，可用常数变易法，也可直接利用公式． 解法 1 套用公式直接求其通解．这里 P x( ) 3 = ， 2 ( ) x Q x e = ，将其代入公式 ( ) ( ) ( ( ) ) P x dx P x dx y e Q x e dx C −   = +  ， 得原方程的通解为 3 3 2 2 3 1 ( ) 5 dx dx x x x y e e e dx C e Ce −   − = + = +  ． 解法 2 用常数变易法求其通解，其对应的齐次线性方程为 3 0 dy y dx + = ，分离变量 后求得其通解为 3x y Ce− = ，假设 3 ( ) x y C x e− = 是原方程的解，代入原方程得 5 ( ) x C x e  = ， 积分则有 1 5 ( ) 5 x C x e C = + ， 故原方程的通解为 3 2 1 5 x x y Ce e − = + ． 例 9 求微分方程 dy y dx x y = + 的解． 解法 1 原方程化为 1 y dy x dx y x = + ，此为齐次方程，令 y u x = ，得 1 u u u x u + =  + ， 分离变量有 2 1 1 1 ( )du dx u u x − − = ， 积分得 1 ln | | ln | | u x C u − = +