154 线性代数重点难点30讲 (A)两个向量组等价,即可相互线性表示 (B)R(a1,ax2,…,a1,B1,B2,…,B)=r; (C)当a1,…,a,可由向量组B1,…,月线性表示时,B1,B2,…,B也可由ax1,a2,…, 线性表示; (D)当s=t时,两向量组等价 解法1由命题4容易证明:当两向量组有相同的秩,且其中之一可被另一个线性表 时则这两个向量组等价.事实上,不妨设a1…,a,是a1,…,a的一个最大线性无关组 月1,…,B.是B1,…,B的一个最大线性无关组,又设a1;…,x,可由B1,…,B线性表示, ax1,…,a,可由B1,…,B,线性表示 B1+a12B2 即 2=a2B1+a2B2+…+a2B,, I p B B 阝 B2 或 注意到上述矩阵A=(an),,可逆,故有 阝1 阝n 即B1,…,B,可由a1,…,a,线性表示,从而知月,…,月可由ax1,…,a,线性表示,所 1,…,α1与月,…,,等价,故选(C). 解法2举特例排除不正确者若令a1=(1,0),阝1=(0,1),则(A),(B),(D)显然 成立,只有(C)为正确答案 命题6若n维向量∝x1,a2,…,,是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,…,a,线 无关 证显然r≤n,设有一组数k1,k2,…,k,使k1(1+k2ax2+…+k,ax=0,取内积 (k1a1+k2a2+…+k,a,a1)=(0,a1)=0 即 k1(a1,a1)+k2(a2,1)+…+k,(a1,ax1)=0. 由正交性知 (a2,a1)=(a3,a1)=…=(ax,a1)=0