第26讲线性相关性概念的进一步讨论(2) 153 面用向量组(I)作为行向量组构造矩阵A,用向量组(Ⅱ)作为行向量组构造矩阵B,然后 证明矩阵A与B的行向量组等价,即(I)与(Ⅱ)等价 1018 210-10 1018 0-1-18 02412 (Dn→0126A 0126 B120 111-2 10 81(-1)n1+r2.「10-1-81记为 由上面的初等行变换知矩阵A与A1为行等价矩阵,矩阵B与B1为行等价矩阵,显然 A1与B1的行向量组等价,于是由等价的对称性和传递性知A与B的行向量组等价 命题4设a1,a2,…,a,为向量组T的极大线性无关组,则a1,a2,…,ax,与向量组T 等价 命题5设有两个向量组A:a1,…,a,;B:B1,B2,…,B,若向量组A可由B组线性表 示,且向量组A:a1…,a,线性无关,则向量组A所含向量个数r不大于向量组B所含向量 个数s,即r≤s 例4设A、B为两个n阶矩阵,证明 R(A+B)≤R(A)+R(B) 证法1见第10讲例5 证法2见第24讲例5 证法3只要证明A+B的列向量组可以由A和B的列向量组线性表示即可设A (a1,a2,…,an),B=(B1,B2,…,B),则A+B=(y1,y2,…,n)=(a1+B1,a2+ …,an+Bn),其中a1,…,an;B1,…,B2;"1,…,y.分别是矩阵A、B和A+B的列向量组 不妨设a1,…,a,(r≤n);阝1,…,B(s≤n);y1,…,y(t≤n)分别是a1,…,axn;p1 B;1,…,yn的最大线性无关组,由命题4知:y1,…,"可用y1,…,线性表示;显然 1,…,"。可由a1,…,an,B1,…,B线性表示;同理有a1,…,an,阝1,…,,可由a1,…,a, 阝1,…,B线性表示,由传递性知:y1,…,",可由a1,…,x,B1,…,B线性表示,且y1,…,y 线性无关故由命题5知:t≤r+s,即R(A+B)≤R(A)+R(B) 例5设a1,a2,…,a1和阝,B2,…,B为两个n维向量组,且R(a1,2,…,a)= R(B1,B2,…,B)=r,则()