4f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a E={xf(x)≤a}和E=f(x)≥a都是闭集 另证:我们只要证明充分性: 由条件知对任意实数c, x:f(x)>c},{x:f(x)<c;都为开集, 任取x0∈R,下证f(x)在x处连续 VE>0,{x:f(x)-E<f(x)<f(x)+8} {x:f(x)-E<f(x)}n{x:f(x)<f(x)+}为开集, 从而彐δ>0,使得 0(x0,6)c{x:f(x)E<f(x)<f(x)+e} 因为x是(x:f(x)-E<f(x)<f(x)+E的内点 也即当x-x0k<c时,有f(x)-f(x)kE 所以(x)在x处连续。4 f(x)是直线上的连续函数当且仅当对任意实数a， E={x|f(x)≤a}和E1={x|f(x)≥a}都是闭集 另证：我们只要证明充分性： 所以 在 处连续。 也即当 时，有 0 0 0 ( ) | | | ( ) ( )| f x x x − x   f x − f x   ( { ( ) ( ) ( ) } ) ( , ) { ( ) ( ) ( ) } 0, 0 0 0 0 0 0 因为 是 ： 的内点 ： 从而 使得       −   +  −   +   x x f x f x f x O x x f x f x f x ： ： 为开集， ： { ( ) ( )} { ( ) ( ) } 0,{ ( ) ( ) ( ) } 0 0 0 0      = −    +   −   + x f x f x x f x f x x f x f x f x 任取 ，下证 在 处连续 ： ： 都为开集， 由条件知对任意实数 ， 0 0 ( ) { ( ) },{ ( ) } x R f x x x f x c x f x c c   