注1第二类换元法是通过恰当的变换，将原积分化为关于新变量的函数的积分，从而 达到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量，而不是中间变量。使 用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的变量代换。 注2用第二类换元积分法求不定积分，应注意三个问题： (1)用于代换的表达式在对应的区间内单调可导，且导数不为零. (2)换元后的被积函数的原函数存在. (3)求出原函数后一定要将变量回代. 注3常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换。根式代换和三角代换常用于消去 被积函数中的根号，使其有理化，这种代换使用广泛，而倒代换的目的是消去或降低被积函 数分母中的因子的幂. 注4常用第二类换元法积分的类型： (1)∫fx,+b),令1=+b. Ycx+d G)j/xvF-Fk,可令x=gsin1或x=gcos. (4)∫fx,V匠+r)达，可令x=gtan1或x=gh (5)∫fx,VBx-a,可令x=&sec1或x=ch。 (6)当被积函数含有√Px2+g+r(g2-4r<0)时，利用配方与代换可化为以上(3)， (4),(5)三种情形之一. (7)当被积函数分母中含有x的高次幂时，可用倒代换x=· 例24求下列不定积分： (1)∫e"dk.(2)∫xsin4xd.(3)∫x2 Inxdx。 (4)「arcsinxdx.(5)∫xarctanxdx.(6)「e"sin bxdx(d+B≠0). 分析上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数 中的某两类函数的乘积，适合用分部积分法. 解1)e=de)=-e+e在=-音e-e+C. （2)jrsm4=-c4)=-手cos4k+号rcos4d -号w+打cn-号os+g如mh 手os4r+xsin4r+ 8 0s4r+C. 注 1 第二类换元法是通过恰当的变换，将原积分化为关于新变量的函数的积分，从而 达到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量，而不是中间变量．使 用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的变量代换． 注 2 用第二类换元积分法求不定积分，应注意三个问题： （1）用于代换的表达式在对应的区间内单调可导，且导数不为零． （2）换元后的被积函数的原函数存在． （3）求出原函数后一定要将变量回代． 注 3 常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换．根式代换和三角代换常用于消去 被积函数中的根号，使其有理化，这种代换使用广泛．而倒代换的目的是消去或降低被积函 数分母中的因子的幂． 注 4 常用第二类换元法积分的类型： （1） ( , ) , n n f x ax b dx t ax b + = +  令 ． （2） ( , ) , n n ax b ax b f x dx t cx d cx d + + = + +  令 ． （3） 2 2 2 f x a b x dx ( , ) −  ，可令 sin a x t b = 或 cos a x t b = ． （4） 2 2 2 f x a b x dx ( , ) +  ，可令 tan a x t b = 或 a x sht b = ． （5） 2 2 2 f x b x a dx ( , ) −  ，可令 sec a x t b = 或 a x cht b = ． （6）当被积函数含有 2 2 px qx r q pr + + −  ( 4 0) 时，利用配方与代换可化为以上（3）， （4），（5）三种情形之一． （7）当被积函数分母中含有 x 的高次幂时，可用倒代换 1 x t = ． 例 24 求下列不定积分： （1） 3x xe dx −  ． （2） 2 x xdx sin 4  ． （3） 2 x xdx ln  ． （4） arcsin xdx  ． （5） x xdx arctan  ． （6） sin ax e bxdx  2 2 ( 0) a b +  ． 分析 上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数 中的某两类函数的乘积，适合用分部积分法． 解 （1） 3x xe dx −  1 1 1 3 3 3 3 3 ( ) 3 3 3 3 9 x x x x x x x xd e e e dx e e C − − − − − = − = − + = − − +   ． （2） 2 x xdx sin 4  2 1 1 2 (cos4 ) cos4 cos4 4 4 2 x = − = − + x d x x x xdx   2 2 1 1 1 cos4 (sin 4 ) cos4 sin 4 sin 4 4 8 4 8 8 x x = − + = − + − x xd x x x x xdx   2 1 1 cos4 sin 4 cos4 4 8 32 x = − + + + x x x x C ．