r+2n=8-(+9x-9-9） =gw-(+9v-传ge (3+re+l-(g-e国 （g+9e-(x-gg国 于是 Uxg0-3x-r)+3r+号gx) 定义7Px]中两个多项式f(x),g(x)称为互素的如果(fx,g(x》=1 显然，如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然 定理3Px]中两个多项式fx),g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x),(x)使 (x)fx)+x)g(x)=1 证明必要性是定理2的直接推论 现在设有(x),(x)使(x)f(x)+(x)g(x)=1而p(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式于是 p(x)f(x),p(x)g(x),从而xl,即f(x),g(x)互素 由此可以证明 定理4如果(f(x),g(x)=1,且fx)g(x)hx),那么f(x)h(x) 证明由(f(x),g(x》=1可知，有(x),(x)使u(x)f(x)+(x)g(x)=1等式两边乘(x),得 u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x) 因为f(x)g(x)h(x),所以f(x)整除等左端，从而f(x)h(x) 推论如果x)g(x),(x)lg(x),且fx,5(x》=1,那么fx)5(x)lg(x) 证明由f(xg(x)有g(x)=(xh(x).因为(x)fxh(x),且((x,2(x》=1,所以根据 定理4，有5(x)h(x),即h(x)=5(x)h,(x).代入上式即得 而 (9 27) x + 27 5 25 10 2 ( ) 9 5 9 9 3 g x x x x     = − − + − − −         27 1 1 ( ) 9 [ ( ) ( )] 5 3 9 g x x f x x g x     = − − + − −         27 27 1 1 9 ( ) 1 9 ( ) ( ) 5 5 3 9 x f x x g x       = + + − − −             27 9 18 2 9 ( ) ( ) 5 5 5 x f x x x g x     = − + + − −         于是 ( ( ), ( )) f x g x = 3 1 2 2 1 ( ) ( ) 5 5 5 x f x x x g x         − + − +     定义 7 P x[ ] 中两个多项式 f x g x ( ), ( ) 称为互素的,如果 ( ( ), ( )) 1 f x g x = 显然,如果两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦然. 定理 3 P x[ ] 中两个多项式 f x g x ( ), ( ) 互素的充分必要条件是有 P x[ ] 中的多项式 u x v x ( ), ( ) 使 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + = 证明 必要性是定理 2 的直接推论 现在设有 u x v x ( ), ( ) 使 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + = 而 ( ) x 是 f x( ) 与 g x( ) 的一个最大公因式.于是   ( ) ( ), ( ) ( ) x f x x g x ,从而 ( ) 1 x ,即 f x( ) , ( ) g x 互素. 由此可以证明 定理 4 如果 ( ( ), ( )) 1 f x g x = ,且 f x g x h x ( ) ( ) ( ),那么 f x h x ( ) ( ) 证明 由 ( ( ), ( )) 1 f x g x = 可知,有 u x v x ( ), ( ) 使 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + = 等式两边乘 h x( ) ,得 u x f x h x v x g x h x h x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = 因为 f x g x h x ( ) ( ) ( ),所以 f x( ) 整除等左端,从而 f x h x ( ) ( ) 推论 如果 1 f x g x ( ) ( ), 2 f x g x ( ) ( ) ,且 1 2 ( ( ), ( )) 1 f x f x = ,那么 1 2 f x f x g x ( ) ( ) ( ) 证明 由 1 f x g x ( ) ( ) 有 1 1 g x f x h x ( ) ( ) ( ) = .因为 2 1 1 f x f x h x ( ) ( ) ( ) ,且 1 2 ( ( ), ( )) 1 f x f x = ,所以根据 定理 4,有 2 1 f x h x ( ) ( ),即 1 2 2 h x f x h x ( ) ( ) ( ) = .代入上式即得