曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟复旦大学力学与工程科学系 2015年4月2日 1知识要素 11曲面上标架运动方程 曲面上协变基的运动方程为 ogi(as)=r,+biin= ring+bin by b 曲面上逆变基的运动方程为 x)=-g (az)=-bil 1.2曲面上张量场偏导数及曲面梯度算子 可定义曲面上张量场沿坐标曲线的变化率,亦即偏导数 定义11(曲面上张量场沿坐标曲线的变化率) 更(xx+Ain)-重(a 入 不失一般性研究三阶张量场更(cx)=重3(x)(g18g1n)(xs)∈3(R3).考虑 更(xx+Ai)=更3(xx+Ai)9x+Ai)g(xx+i)n(x+Ai1)∈3(R3) 按各组成部分的无限小增量公式,有 3(xx+Ai1)=p3(xx)+”(xx)+o3(A)∈R +A1)=9(x)+a(x)+0)∈ g(ax Ain)=g(as)+ (cy)+o3(入)∈ n(a+Ai)=n(x)+m1(x)入+o3()∈R张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日 1 知识要素 1.1 曲面上标架运动方程 曲面上协变基的运动方程为    ∂gi ∂xj Σ (xΣ) = Γ k ijgk + bijn = Γij,kg k + bijn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 曲面上逆变基的运动方程为    ∂g i ∂xj Σ (xΣ) = −Γ i jkg k + b i jn; ∂n ∂xj Σ (xΣ) = −bjkg k = −b k j gk . 1.2 曲面上张量场偏导数及曲面梯度算子 可定义曲面上张量场沿坐标曲线的变化率，亦即偏导数. 定义 1.1 (曲面上张量场沿坐标曲线的变化率). ∂Φ ∂xl Σ (xΣ) , lim λ→0∈R Φ(xΣ + λil) − Φ(xΣ) λ . 不失一般性, 研究三阶张量场 Φ(xΣ) = Φ i ·j3 (xΣ)(gi ⊗ g j ⊗ n)(xΣ) ∈ T 3 (R 3 ). 考虑 Φ(xΣ + λil) = Φ i ·j3 (xΣ + λil)gi (xΣ + λil) ⊗ g j (xΣ + λil) ⊗ n(xΣ + λil) ∈ T 3 (R 3 ) 按各组成部分的无限小增量公式, 有 Φ i ·j3 (xΣ + λil) = Φ i ·j3 (xΣ) + ∂Φi ·j3 ∂xl Σ (xΣ)λ + o i ·j3 (λ) ∈ R; gi (xΣ + λil) = gi (xΣ) + ∂gi ∂xl Σ (xΣ)λ + oi(λ) ∈ R 3 ; g j (xΣ + λil) = g j (xΣ) + ∂g j ∂xl Σ (xΣ)λ + o j (λ) ∈ R 3 ; n(xΣ + λil) = n(xΣ) + ∂n ∂xl Σ (xΣ)λ + o 3 (λ) ∈ R 3 , 1