曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 可有 (xx+Ai)=重3(xx)(9:898m)(xx) (m2an+器amy an +少3918a2(xx)8n+918gmr(e))x+o() 则有 (xx)=a(①y39:918m)(xx) axl(es)g:g'6n+gt 09(egon +398(xx)n+重391898a(cx) 基于曲面标架运动方程,可将上述极限的极限值表达为 (y)= 0(19、"°) V1y39:98n+中3ng8n 亚3列91因m②n一的918989k 式中Vt代表曲面协变导数,仅对张量分量相对于切空间的指标有效,具体有 √3=ar (x)+I下3-:3 基于张量场的偏导数,可定义曲面梯度算子 9ar,不失一般性,此处以∈少m) 为例,有 0=(yag)(0+m+n8 go( 9:8g' 小n89+3nn) =V(⊙9)8gy+到hn(d回n)8gy+型的(e9)8 +V@9)8n+的m(n)8n-(g回g)8g Vp(g回n)8g-型(g回g.)8g+l(g回n)8n +V3(g4⊙n)n-的(g9,)n-n)9 此处@代表任意合理的张量代数运算;V1为曲面协变导数,仅对张量分量相对于切空间的指标张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 可有 Φ(xΣ + λil) = Φ i ·j3 (xΣ)(gi ⊗ g j ⊗ n)(xΣ) + ( ∂Φi ·j3 ∂xl Σ (xΣ)gi ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j3 ∂gi ∂xl Σ (xΣ)g j ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ ∂g j ∂xl Σ (xΣ) ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ ∂n ∂xl Σ (xΣ) ) λ + o(λ), 则有 ∂Φ ∂xl Σ (xΣ) = ∂ ∂xl Σ (Φ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ n)(xΣ) = ∂Φi ·j3 ∂xl Σ (xΣ)gi ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j3 ∂gi ∂xl Σ (xΣ)g j ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ ∂g j ∂xl Σ (xΣ) ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ ∂n ∂xl Σ (xΣ). 基于曲面标架运动方程，可将上述极限的极限值表达为 ∂Φ ∂xl Σ (xΣ) = ∂ ∂xl Σ (Φ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ n)(xΣ) = ∇lΦ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j3 blin ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j3 b j l gi ⊗ n ⊗ n − Φ i ·j3 b k l gi ⊗ g j ⊗ gk , 式中 ∇l 代表曲面协变导数, 仅对张量分量相对于切空间的指标有效, 具体有 ∇lΦ i ·j3 , ∂Φi ·j3 ∂xl Σ (xΣ) + Γ i lsΦ s ·j3 − Γ s ljΦ i ·s3 . 基于张量场的偏导数, 可定义曲面梯度算子 Σ ∇ ≡ g l ∂ ∂xl Σ , 不失一般性, 此处以 Φ ∈ T 2 (R m) 为例, 有 Σ ∇ } Φ ≡ ( g l ∂ ∂xl Σ ) } ( Φ i ·jgi ⊗ g j + Φ i ·3gi ⊗ n + Φ 3 ·jn ⊗ g j + Φ 3 ·3n ⊗ n ) , g l } ∂ ∂xl Σ ( Φ i ·jgi ⊗ g j + Φ i ·3gi ⊗ n + Φ 3 ·jn ⊗ g j + Φ 3 ·3n ⊗ n ) = [ ∇lΦ i ·j (g l } gi ) ⊗ g j + Φ i ·j bli(g l } n) ⊗ g j + Φ i ·j b j l (g l } gi ) ⊗ n ] + [ ∇lΦ i ·3 (g l } gi ) ⊗ n + Φ i ·3 bli(g l } n) ⊗ n − Φ i ·3 b s l (g l } gi ) ⊗ gs ] + [ ∇lΦ 3 ·j (g l } n) ⊗ g j − Φ 3 ·j b s l (g l } gs ) ⊗ g j + Φ 3 ·j b j l (g l } n) ⊗ n ] + [ ∇lΦ 3 ·3 (g l } n) ⊗ n − Φ 3 ·3 b s l (g l } gs ) ⊗ n − Φ 3 ·3 b s l (g l } n) ⊗ gs ] . 此处 } 代表任意合理的张量代数运算; ∇l 为曲面协变导数, 仅对张量分量相对于切空间的指标 2