曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 有效,如上述表达式中的指标i和j,具体有 Vp全a12(x)+少一更 vigi a ap (ay)+Tis.3 V2(xx)-; 03 V 3 Or-(a5), 式中代表曲面的第二类 Christoffel符号 对应于曲面协变导数,可通过指标升降关系定义曲面逆变导数,即V全gVt 13曲面上张量场可微性 按赋范线性空间上微分学的一般理论,曲面上张量场的可微性定义如下 定义1.2(曲面上张量场的可微性),对曲面上张量场更(xx)∈丌(Rm),如彐D更(xy)∈ (Rm,(Rm"),满足 更(+△x)-更(x)=D更(x)(△)+o(△|Rm), 则称曲面上张量场更(xx)在点可微 基于曲面梯度算子,可得曲面上张量场可微性的具体表示 定理1.1(曲面上张量场可微性的表示).如曲面上张量场更(x)∈(Rm)可微,则有 A9)(宁8型)+△xn 更(x+△y)-更(mx) 更⑧V)·(△x9,)+o(△ sIRm) 证明不失一般性,以三阶张量场更=918g8n∈3(R)为例考虑 中+△x)=少(x+△x)9(a+△x)8g(x+△x)n(x+△x)∈(3) 按各组成部分的无限小增量公式,有 (x+△x)=,(x)+a(x)△ry+6△正)∈R; 9ias+Ax=gi(az)+o(as) (△xl3)∈ g(xy+△xx)=9Ba(xx)△+o(△sl)∈R n(a+△ay)=n(x)+(ag)+(△asa)∈R,张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 有效, 如上述表达式中的指标 i 和 j, 具体有 ∇lΦ i ·j , ∂Φi ·j ∂xl Σ (xΣ) + Γ i lsΦ s ·j − Γ s ljΦ i ·s ; ∇lΦ i ·3 , ∂Φi ·3 ∂xl Σ (xΣ) + Γ i lsΦ s ·3 ; ∇lΦ 3 ·j , ∂Φ3 ·j ∂xl Σ (xΣ) − Γ s ljΦ 3 ·s ; ∇lΦ 3 ·3 , ∂Φ3 ·3 ∂xl Σ (xΣ), 式中 Γ i ls 代表曲面的第二类 Christoffel 符号. 对应于曲面协变导数, 可通过指标升降关系定义曲面逆变导数, 即 ∇l , g lt∇t . 1.3 曲面上张量场可微性 按赋范线性空间上微分学的一般理论, 曲面上张量场的可微性定义如下. 定义 1.2 (曲面上张量场的可微性). 对曲面上张量场 Φ(xΣ) ∈ T r (R m), 如 ∃ DΦ(xΣ) ∈ L (R m, T r (R m)), 满足 Φ(xΣ + ∆xΣ) − Φ(xΣ) = DΦ(xΣ)(∆xΣ) + o(|∆xΣ|Rm), 则称曲面上张量场 Φ(xΣ) 在 xΣ 点可微. 基于曲面梯度算子, 可得曲面上张量场可微性的具体表示. 定理 1.1 (曲面上张量场可微性的表示). 如曲面上张量场 Φ(xΣ) ∈ T r (R m) 可微, 则有 Φ(xΣ + ∆xΣ) − Φ(xΣ) =    (∆x s Σgs ) · ( Σ ∇ ⊗ Φ ) + o(|∆xΣ|Rm), ( Φ ⊗ Σ ∇ ) · (∆x s Σgs ) + o(|∆xΣ|Rm). 证明 不失一般性, 以三阶张量场 Φ = Φ i ·j3 gi ⊗ g j ⊗ n ∈ T 3 (R 3 ) 为例. 考虑 Φ(xΣ + ∆xΣ) = Φ i ·j3 (xΣ + ∆xΣ)gi (xΣ + ∆xΣ) ⊗ g j (xΣ + ∆xΣ) ⊗ n(xΣ + ∆xΣ) ∈ T 3 (R 3 ) 按各组成部分的无限小增量公式, 有 Φ i ·j3 (xΣ + ∆xΣ) = Φ i ·j3 (xΣ) + ∂Φi ·j3 ∂xs Σ (xΣ)∆x s Σ + o i ·j3 (|∆xΣ|R3 ) ∈ R; gi (xΣ + ∆xΣ) = gi (xΣ) + ∂gi ∂xs Σ (xΣ)∆x s Σ + oi(|∆xΣ|R3 ) ∈ R 3 ; g j (xΣ + ∆xΣ) = g j (xΣ) + ∂g j ∂xs Σ (xΣ)∆x s Σ + o j (|∆xΣ|R3 ) ∈ R 3 ; n(xΣ + ∆xΣ) = n(xΣ) + ∂n ∂xs Σ (xΣ)∆x s Σ + o 3 (|∆xΣ|R3 ) ∈ R 3 , 3