曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 可有 (mx+△mx)=重j3(x)(g:8g的m)(mx) On(21⑧gyn+更 3as(c)g②n +3918(x)8n+到91898m(x)△m+o(△msk) =x)+a÷(xx)A+o(△gm) 更x)+(△9)·(g8m(x)+o(△xslm) 面(+(()8g)·(△)+o(△aa 更(x)+(△93)·(V8重+o(△2m) 更(x)+(更⑧可)·(△r9)+o(△xm) 再考虑到 △X:=X(xx+△xy)-X(xy)=△x9g()+o(4xlgm), 此处△X指参数域中坐标有△xy=△x3is变化而引起的物理空间中曲面上质点位置的变化 由此,可得曲面上张量场可微性的力学表示形式 定理1.2(曲面上张量场可微性的力学表示) (△X)·(V更)+o(△xlgm) )-更(cy) 更)·(△X)+o(△ cElem) (x+=(x2)+(④v(g)△x Xm+ ∑(xy) X S(+)(()3+b Es+h Es+ D 更(x+h)÷更(xx)+便(x)·△X Figure1:曲面上张量场可微性示意 就此,曲面上张量场的可微性可理解为空间位置变化(可在参数空间或者物理空间中刻画) 而引起的张量值变化可以由 Lucid空间至张量空间之间的线性映照(可表示为张量场的曲面梯 度)近似,误差为一阶无穷小量,如图1所示张量分析讲稿谢锡麟 曲面上张量场沿坐标线的一阶偏导数 谢锡麟 可有 Φ(xΣ + ∆xΣ) = Φ i ·j3 (xΣ)(gi ⊗ g j ⊗ n)(xΣ) + ( ∂Φi ·j3 ∂xs Σ (xΣ)gi ⊗ g j ⊗ n + Φ i ·j3 ∂gi ∂xs Σ (xΣ)g j ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ ∂g j ∂xs Σ (xΣ) ⊗ n + Φ i ·j3gi ⊗ g j ⊗ ∂n ∂xs Σ (xΣ) ) ∆x s Σ + o(|∆xΣ|Rm) = Φ(xΣ) + ∂Φ ∂xs Σ (xΣ)∆x s Σ + o(|∆xΣ|Rm) =    Φ(xΣ) + (∆x s Σgs ) · ( g l ⊗ ∂Φ ∂xl Σ (xΣ) ) + o(|∆xΣ|Rm), Φ(xΣ) + ( ∂Φ ∂xl Σ (xΣ) ⊗ g l ) · (∆x s Σgs ) + o(|∆xΣ|Rm). =    Φ(xΣ) + (∆x s Σgs ) · ( Σ ∇ ⊗ Φ ) + o(|∆xΣ|Rm), Φ(xΣ) + ( Φ ⊗ Σ ∇ ) · (∆x s Σgs ) + o(|∆xΣ|Rm). 再考虑到 ∆X := X(xΣ + ∆xΣ) − X(xΣ) = ∆x s Σgs (x) + o(|∆xΣ|Rm), 此处 ∆X 指参数域中坐标有 ∆xΣ = ∆x s Σis 变化而引起的物理空间中曲面上质点位置的变化. 由此, 可得曲面上张量场可微性的力学表示形式. 定理 1.2 (曲面上张量场可微性的力学表示). Φ(xΣ + ∆xΣ) − Φ(xΣ) =    (∆X) · ( Σ ∇ ⊗ Φ ) + o(|∆xΣ|Rm), ( Φ ⊗ Σ ∇ ) · (∆X) + o(|∆xΣ|Rm). x 1 Σ x i Σ x m Σ O hˆ h˜ xΣ xΣ + hˆ xΣ + h˜ DxΣ X1 Xm Xm+1 O Σ ∆Xˆ ∆X˜ Σ(xΣ) Σ(xΣ + hˆ) Σ(xΣ + h˜) Φ(xΣ) Φ(xΣ + hˆ) .= Φ(xΣ) + (Φ ⊗ Σ ∇)(xΣ) · ∆Xˆ Φ(xΣ + h˜) .= Φ(xΣ) + (Φ ⊗ Σ ∇)(xΣ) · ∆X˜ Figure 1: 曲面上张量场可微性示意 就此，曲面上张量场的可微性可理解为空间位置变化 (可在参数空间或者物理空间中刻画) 而引起的张量值变化可以由 Eucid 空间至张量空间之间的线性映照 (可表示为张量场的曲面梯 度) 近似，误差为一阶无穷小量，如图1所示. 4