第五章向量分析 在条件成立时,如何求原函数呢?有三种方法 第一:特殊路径积分法:即: f(M)=+1=∫+地 第二:偏积分法:由于 df(x,y)=X(x,y)dx+Y(x,y)dy, 即9y2=x(x)=()=x(xy+c( 再由 arx,y-o(x(, y)a dx+o 解出函数C(v) 第三:凑微分法 例6:求微分形式2xyx+3xyah的原函数. 解:首先要验证这个微分形式是否有原函数由 X(x, y)=2xy, Y(x,y)=3xy 在整个平面满足 因此,向量场F=2xy2i+3x2y2有势函数,即微分形式 2xyax+3xydy有原函数原函数f(x,y) 第一:特殊路径积分法:(x,、(xy ∫2xyd+3xy 由于积分于路线无关,选择下面的路线进行 由(0,0)出发,沿Ox轴上的有向线段L积分至点(x,0),然后沿竖 直线段L积分至点(x,y)于是 f(x,y)=2xy'dx+3x2y2dy=[3x2ydy=x'y f(x,y)+c也是原函数 第二:待积分法:f(x,y)=∫2xyk+3xy f 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 在条件成立时，如何求原函数呢？有三种方法： 第一：特殊路径积分法：即： ( )   = + = + ( , ) , 0 0 0 ( ) M x y L M x y f M Xdx Ydy Xdx Ydy 第二：偏积分法：由于 df (x, y) = X(x, y)dx +Y(x, y)dy , 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  =  = +   X x y f x y X x y dx C y x f x y , , , , , 再由 ( ) ( X(x y)dx C(y)) Y(x y) y y f x y , , , + =   =    , 解出函数 C(y). 第三：凑微分法 例 6: 求微分形式 2 3 3 2 2 xy dx + x y dy 的原函数. 解:首先要验证这个微分形式是否有原函数.由 X (x, y) = 2xy ,Y(x, y) = 3x y 3 2 2 在整个平面满足:     X y xy Y x = 6 = 2 . 因 此 ， 向 量 场 F xy i x y j    3 2 2 = 2 + 3 有 势 函 数 , 即 微 分 形 式 2 3 3 2 2 xy dx + x y dy 有原函数原函数 f (x, y). 第一：特殊路径积分法: ( , ) : 2 3 . ( , ) (0,0) 3 2 3  = + x y f x y xy dx x y dy 由于积分于路线无关, 选择下面的路线进行: 由(0,0)出发,沿 ox 轴上的有向线段 L1 积分至点 (x,0) ,然后沿竖 直线段 L2 积分至点 (x, y).于是 2 2 3 0 3 2 2 2 ( , ) 2 3 3 1 2 f x y x y dx x y dy x y dy x y y L L = + = =   + f (x, y) +c 也是原函数. 第二：待积分法: ( , ) : 2 3 . ( , ) (0,0) 3 2 3  = + x y f x y xy dx x y dy 3 2xy x f =    f (x y) = x y dx + C(y) = x y + C(y)  3 2 3 , 2