65.设多项式 f(x)=2x4+(2+1)x3+(t+1)x2+4(1+)x+2u+3 与 g(x)=x3+tx2+2 至少有两个公共根求t和u的值.(2016年中南大学) 66.写出以xx2为首项的项数最少的3元齐次对称多项式f(x1,x2,x3),并表示为基本对称多项式的多项 式.(2018年中南大学) 67.设f(x)=x3,9(x)=(1-x) (1)求a(x),v(x)使得 (f(x),g(x)=u(x)f(x)+v(x)9(x) (2)设r1(x)=x+2,r2(x)=1求一多项式h(x)使下列同余方程成立: h(x)≡1(x)( modf(x),h(x)≡r2(x)(modg(x) (2013年中山大学) 四证明题 设多项式f(x)的所有复根都是实数,证明:如果a是f(x)的导数f(x)的重根,则a也是f(x)的重根 (2009年北京大学) 2.整系数多项式f(x)=∑akx(n≥2010)若存在素数满足: (b)p|a(=0,1,2,…,2008) (c)p21 证明f(x)必有次数不低于2009的不可约整系数因式.(2010年北京大学) 3.已知a=2013+2013c是有理多项式的一个根证明B=2013+2013e也是其中一个复根(2013 年北京大学 4.(1)试证明:给一个K上的多项式f(x),一定能找到一个不超过(k+1)次的多项式Sf(x),使得对每个正 整数n,都有Sf(n)=∑f() (2)构造一个多项式g(x)满足对每个正整数n都有g(m)=02+12+…+(n-1)2.(2018年北京大学) 5.设t1,t2,…,tn+1是区间0,1中n+1个不同的点,函数p(t)满足p(t1),y(t2),……,y(tn+1)不全为零,问是 否可以找到唯一的一个n次多项式f(t)=a0+a1t+a2+…+ant使得f(t)=y(t1)(i=1,2,…,n+1) (2009年北京交通大学65. ıë™ f(x) = 2x 4 + (2t + 1)x 3 + (t + 1)x 2 + 4(1 + u)x + 2u + 3 Ü g(x) = x 3 + tx2 + 2u ñk¸á˙
ä,¶t⁄uä. (2016c•HåÆ) 66. —±x 3 1x2 èƒëëÍÅ3‡gÈ°ıë™f(x1, x2, x3) ,øL´èƒÈ°ıë™ıë ™. (2018c•HåÆ) 67. f(x) = x 3 , g(x) = (1 − x) 2 . (1)¶u(x), v(x) ¶ (f(x), g(x)) = u(x)f(x) + v(x)g(x). (2)r1(x) = x + 2, r2(x) = 1 .¶òıë™h(x) ¶e”{êߧ·: h(x) ≡ r1(x)(modf(x)), h(x) ≡ r2(x)(modg(x)). (2013c•ÏåÆ) o.y²K 1. ıë™f(x)§kEä—¥¢Í, y²: XJa¥f(x)Íf 0 (x) ­ä, Kaè¥f(x)­ä. (2009 cÆåÆ) 2. XÍıë™f(x) = Pn k=0 akx k (n ≥ 2010). e3ÉÍp˜v: (a) p - an; (b) p | ai(i = 0, 1, 2, · · · , 2008); (c) p 2 - a0 y²f(x)7kgÍÿ$u2009ÿåXÍœ™. (2010cÆåÆ) 3. Æα = 2013+2013 1 106¥knıë™òáä. y²β = 2013+2013 1 106 e 2πi 53 襟•òáEä. (2013 cÆåÆ) 4. (1)£y²: âòáK˛ıë™f(x), ò½UÈòáÿáL(k + 1)gıë™Sf (x), ¶Èzá Ín, —kSf (n) = nP−1 j=0 f(j). (2)Eòáıë™g(x)˜vÈzáÍn—kg(n) = 02 + 12 + · · · + (n − 1)2 . (2018cÆåÆ) 5. t1, t2, · · · , tn+1¥´m[0, 1]•n+1áÿ”:, ºÍϕ(t)˜vϕ(t1), ϕ(t2), · · · , ϕ(tn+1) ÿè", Ø¥ ƒå±Èçòòángıë™f(t) = a0+a1t+a2t 2+· · ·+ant n¶f(ti) = ϕ(ti)(i = 1, 2, · · · , n+1). (2009cÆœåÆ) 9 厦门大学《高等代数》