6.设a1,a2,…,an是互异整数,求证:f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-1在有理数域上不可约.(2017 年北京大学) 7.若整系数多项式p(x)与f(x)有一个公共根,且p(x)为不可约多项式,那么p(x)|f(x).(2010年北京科技 大学) 8.设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a是一个整系数多项式,证明:如果an+an-1+…+a1+a是 奇数,则∫(x)既不能被(x-1)整除,也不能被(x-1)整除.(2014年北京科技大学) 9.f(x)是Z上的不可约多项式,证明:f(x)在C上无重因式.(2019年北京师范大学) 10.实系数多项式f(x)=x4-6x32+ax2+bx+2有4个实根,证明:至少有一个根小于1.(2009年大连理 工大学) 11.证明:f(x)|f(x)的充要条件是f(x)可以表示成f(x)=k(x-a).(2009年大连理工大学) 12.设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(a≠0)是数域P上的n次多项式 (1)若f(x)有n个根x1,x2,…,xn求以,,…,2为根的n次多项式 (2)若f()可约,证明:多项式(2)=a0+a1xn-1+…+an-1x+an在P上也可约(2011年大连理 工大学) 13.证明:多项式f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1在有理数域上不可约.(2018年大连理工大学) 14.设d(x)为f(x)和g(x)的公因式,证明:(1)d(x)为f(x)和g(x)的一个最大公因式的充要条件是d(x)=u(x)f(x)+ v(r)g(ar); (2)若h(x)是任一首项为1的多项式,则(f(x)h(x),g(x)h(x)=(f(x),9(x)h(x).(2009年湖南大学) 15.设f(x)=1+量x2+hx+…+kyx2(k≥1.证明f(x)不存在三重根(2010年湖南大学) 6.设f(x),g(x),h(x),k(x)是数域P上的多项式,且有 (x2+1)h(x)+(x+1)f(x)+(x+2)g(x)=0(x2+1)k(x)+(x-1)f(x)+(x-2)g(x)=0 证明:(x2+1)是f(x)和g(x)的公因式(2012年湖南大学) 17.设f(x)=anx+an-1xmn-1+…+a1x+a是一个整系数多项式,如果存在一个素数p,使得 (1)不整除an; (2)整除an-1,…,a1,a0; (3)p2不整除a 证明:多项式f(x)在有理数域上不可约.(2013年湖南大学) 18.证明:f(x)=1-x2+-+…+(-1)mamx2m没有二重根.(2014年湖南大学)6. a1, a2, · · · , an¥p…Í, ¶y: f(x) = (x − a1)(x − a2)· · ·(x − an) − 13knÍç˛ÿå. (2017 cÆåÆ) 7. eXÍıë™p(x)Üf(x)kòá˙
ä, Öp(x)èÿåıë™, @op(x) | f(x). (2010cÆâE åÆ) 8. f(x) = anx n +an−1x n−1 +· · ·+a1x+a0¥òáXÍıë™, y²: XJan +an−1 +· · ·+a1 +a0¥ ¤Í, Kf(x)QÿU(x − 1)ÿ, èÿU(x − 1)ÿ. (2014cÆâEåÆ) 9. f(x)¥Z˛ÿåıë™, y²: f(x)3C ˛Ã­œ™. (2019cÆìâåÆ) 10. ¢XÍıë™f(x) = x 4 − 6x 3 + ax2 + bx + 2k4á¢ä, y²: ñkòáäu1. (2009cåÎn ÛåÆ) 11. y²: f 0 (x) | f(x)øá^á¥f(x)å±L´§f(x) = k(x − a) n. (2009cåÎnÛåÆ) 12. f(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0(a0 6= 0)¥ÍçP ˛ngıë™. (1)ef(x)knáäx1, x2, · · · , xn, ¶± 1 x1 , 1 x2 , · · · , 1 xnèängıë™. (2)ef(x)å, y²: ıë™g(x) = a0x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an 3P˛èå. (2011cåÎn ÛåÆ) 13. y²: ıë™f(x) = x(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) + 13knÍç˛ÿå. (2018cåÎnÛåÆ) 14. d(x)èf(x)⁄g(x)˙œ™, y²: (1)d(x)èf(x)⁄g(x)òáÅå˙œ™øá^á¥d(x) = u(x)f(x)+ v(x)g(x); (2)eh(x)¥?òƒëè1ıë™, K(f(x)h(x), g(x)h(x)) = (f(x), g(x))h(x). (2009 cHåÆ) 15. f(x) = 1 + 1 2!x 2 + 1 4!x 4 + · · · + 1 (2k)!x 2k (k ≥ 1). y²f(x)ÿ3n­ä. (2010cHåÆ) 16. f(x), g(x), h(x), k(x)¥ÍçP˛ıë™, Ök (x 2 + 1)h(x) + (x + 1)f(x) + (x + 2)g(x) = 0 (x 2 + 1)k(x) + (x − 1)f(x) + (x − 2)g(x) = 0 y²: (x 2 + 1)¥f(x)⁄g(x)˙œ™. (2012cHåÆ) 17. f(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a1x + a0¥òáXÍıë™, XJ3òáÉÍp, ¶: (1)pÿÿan; (2)pÿan−1, · · · , a1, a0; (3)p 2ÿÿa0. y²: ıë™f(x)3knÍç˛ÿå. (2013cHåÆ) 18. y²: f(x) = 1 − 1 2!x 2 + 1 4!x 4 − 1 6!x 6 + · · · + (−1)m 1 (2m)!x 2m vk­ä. (2014cHåÆ) 10 厦门大学《高等代数》