19.设a,b,c,d均为有理数,va是无理数,且b≠0,若a+ba是有理系数多项式f(x)的根,证明:a-ba也 是f(x)的根.(2017年湖南大学) 20.证明:(xm,(1+x)2)=1,其中m,n为任意正整数.(2009年湖南师范大学) 21.设f(x)为一整系数多项式,若f(x)-1有5个不同整数根,证明:f(x)-12无整数根.(2009年湖南师范 大学) 22.设正整数m与n奇一偶,证明:(xm+1,x+1)=1.(2010年湖南师范大学) 3.设F]表示域F上的全体多项式集合,c是F中的某一个非零多项式的根,令 I=f(x)∈Flf(c)=0 证明 (1)在中存在这样的多项式p(x),使得中每个多项式f(x)都有p(x)1f(x) (2)p(x)是Fx]中不可约多项式.(2010年湖南师范大学) 24.证明:设m,n是正整数.证明:(xm-1,x2-1)=x-1当且仅当(m,n)=1.(2012年湖南师范大学) 25.若f(x)有重因式,且(f(x),f(x)=1.证明:f(x)的重因式都是2的重因式.(2014年湖南师范大学) 26.设正整数m,n,a≠0,且m与n互素,n是偶数,求证:(xm-mn,rn+a")=1.(2015年湖南师范大学) 27.设多项式f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4)+1,其中a1<a2<a3<a4都是整数.证明:f(x)在 有理数域上可约a4-a1=3(2009年华东师范大学) 28.设n是正整数证明:xn+n在有理数域上可约的充要条件是存在正整数m,使得n=4m4.(2010年华 东师范大学 29.证明:三次方程x3-a1x2+a2x-a3=0的三个根成等差数列的充要条件是2a1-9a1a2+27a3=0 (2011年华东师范大学 30.证明:复数域上的方程组 x1+x2+…+xn=0 x1+x2+…+x2=0 只有零解.(2015年华东师范大学) 31.设K是数域 (1)证明:一元多项式x2+x3不能写成另一多项式的平方19. a, b, c, d˛èknÍ, √ d¥ÃnÍ, Öb 6= 0, ea+b √ d ¥knXÍıë™f(x)ä, y²: a−b √ dè ¥f(x) ä. (2017cHåÆ) 20. y²: (x m,(1 + x) n) = 1, Ÿ•m, nè?øÍ. (2009cHìâåÆ) 21. f(x)èòXÍıë™, ef(x) − 1k5áÿ”Íä, y²: f(x) − 12ÃÍä. (2009cHìâ åÆ) 22. ÍmÜnò¤òÛ, y²: (x m + 1, xn + 1) = 1. (2010cHìâåÆ) 23. F[x]L´çF˛Nıë™8‹, c¥F[x] •,òáö"ıë™ä, - I = f(x) ∈ F[x]|f(c) = 0. y²: (1)3I•3˘ıë™p(x), ¶I•záıë™f(x) —kp(x) | f(x); (2)p(x)¥F[x]•ÿåıë™. (2010cHìâåÆ) 24. y²: m, n¥Í. y²: (x m − 1, xn − 1) = x − 1Ö=(m, n) = 1. (2012cHìâåÆ) 25. ef(x)k­œ™, Ö(f 0 (x), f00 (x)) = 1. y²: f(x)­œ™—¥2 ­œ™. (2014cHìâåÆ) 26. Ím, n, a 6= 0, ÖmÜnpÉ, n¥ÛÍ, ¶y: (x m − a m, xn + a n) = 1. (2015cHìâåÆ) 27. ıë™f(x) = (x − a1)(x − a2)(x − a3)(x − a4) + 1, Ÿ•a1 < a2 < a3 < a4—¥Í. y²: f(x) 3 knÍç˛å⇔ a4 − a1 = 3. (2009cu¿ìâåÆ) 28. n¥Í. y²: x n + n3knÍç˛åøá^á¥3Ím, ¶n = 4m4 . (2010cu ¿ìâåÆ) 29. y²: ngêßx 3 − a1x 2 + a2x − a3 = 0náä§Íøá^á¥2a1 − 9a1a2 + 27a3 = 0. (2011cu¿ìâåÆ) 30. y²: EÍç˛êß|    x1 + x2 + · · · + xn = 0 x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n = 0 · · · · · · x n 1 + x n 2 + · · · + x n n = 0 êk"). (2015cu¿ìâåÆ) 31. K¥Íç, (1)y²: òıë™x 2 + x 3ÿU§,òı뙲ê. 11 厦门大学《高等代数》