中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分) 设L的参数方程为x=0),则: ∫P(xy)d+(x,y)=J{P)w()9()+q)w(y()t 两类曲线积分之间的关系P+gh=j(Posa+QsB)s其中a和B分别为 L上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式(2一8b=手P+Q格林公式(一8b=手P+b 当P=y.Q=x,即:2-8=2时,得到D的面积:4=b=1于x- 平面上曲线积分与路径无关的条件 1、G是一个单连通区域 2、P(xy,Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且2=。注意奇点,如00,应 减去对此奇点的积分,注意方向相反 二元函数的全微分求积: 在2Q=时,P+Qb才是二元函数Mxy)的全微分,其中 (x,y)=「Px,y)d+Q(x,y)d,通常设x=y=0 曲面积分 对面积的曲面积分』(xy,)d=xx,1+:(x)+(x,d 对坐标的曲面积分P(xy2)+Q(x,y)dd+R(xy,)dd其中 R(x,y,)dd=±xy,=(x,y)dd取曲面的上侧时取正号; ∫P(x,y)d=+jPxy:)y,取曲面的前侧时取正号 ∫(x,y.)t=士cx,y(x):d,取曲面的右侧时取正号 两类曲面积分之间的关系Pahd+dk+khh=( Pcos+gcos+ Cosy)ds 高斯公式中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) ，通常设 。 在 ＝ 时， 才是二元函数 的全微分，其中： 二元函数的全微分求积： 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 、 ， 在 内具有一阶连续偏导数，且 ＝ 。注意奇点，如 ，应 、 是一个单连通区域； 平面上曲线积分与路径无关的条件： 当 ，即： 时，得到 的面积： 格林公式： 格林公式： 上积分起止点处切向量的方向角。 两类曲线积分之间的关系： ，其中 和 分别为 设 的参数方程为 ，则： 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) · 2 ( , ) ( , ) (0,0) 1 · 2 1 , 2 ( ) ( ) ( cos cos ) ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( ) ( ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 = + = = +         = = = −   −   = − = = +   −   = +   −   + = + + =  +     = =            u x y P x y dx Q x y dy x y Pdx Qdy u x y y P x Q y P x Q P x y Q x y G G D A dxdy xdy ydx y P x Q P y Q x dxdy Pdx Qdy y P x Q dxdy Pdx Qdy y P x Q L Pdx Qdy P Q ds P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt y t x t L x y x y D L D L D L L L L               曲面积分：                   + + = + + =  =  =  + + = + + Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx P x y z dydz P x y z y z dydz R x y z dxdy R x y z x y dxdy P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy f x y z ds f x y z x y z x y z x y dxdy z x yz xy xy D D D D x y ( cos cos cos ) ( , , ) [ , ( , ), ] ( , , ) [ ( , ), , ] ( , , ) [ , , ( , )] ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) 2 2 两类曲面积分之间的关系：    ，取曲面的右侧时取正号。 ，取曲面的前侧时取正号； ，取曲面的上侧时取正号； 对坐标的曲面积分： ，其中： 对面积的曲面积分： 高斯公式：