中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 高等数学公式 导数公式 (gx)=sec x (arcsin x) (csc x)=-cScxctgx (a)=a In (log x)= In a (arcctgx= 1+x 基本积分表: tgrdx=-In/cos x +C dx= tgx+C In/sin x +C dx xdx=-ctgx+C sec xdx= hn secx+tgx+C sin x secx·lgxx=secx+C csc xdx= In/csc x-ctgx+C ctod dx a +c 2 shxdx= chx+C In x22 j∫j chxdx= sh h(x+√x2±a2)+C n-1 x +a dx +a2+mn(x+√x2+a2)+C dh x arcsin -+C 三角函数的有理式积分: 2 edu sInx= cOSx= =tg 1+u
中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 cos 1 2 sin u du dx x u t g u u x u u x + = = + − = + = ， ， ， x a x a a a x x ctgx x x tgx ctgx x tgx x a x x ln 1 (log ) ( ) ln (csc ) csc (sec ) sec ( ) csc ( ) sec 2 2 = = = − = = − = 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) x arcctgx x arctgx x x x x + = − + = − = − − = = + + = + = + = + = − + = + = = − + = = + x x a C x a dx chxdx shx C shxdx chx C C a a a dx x ctgxdx x C x tgxdx x C xdx ctgx C x dx xdx tgx C x dx x x ln( ) ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x a x dx C a x a x a x a dx C x a x a x a a dx C a x arctg a x a dx xdx x ctgx C xdx x tgx C ctgxdx x C tgxdx x C = + − + − + = − + + − = − = + + = − + = + + = + = − + arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec ln sin ln cos 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − + + − = − − + − + + = + + + + + − = = = − C a a x a x x a x dx x x a C a x a x x a dx x x a C a x a x x a dx I n n I xdx xdx n n n n arcsin 2 2 ln 2 2 ln( ) 2 2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0
中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 些初等函数: 两个重要极限 sIn x 双曲正弦:shx= 双曲余弦:chx= im(1+-)=e=2.718281828459045 2 双曲正切;hx=sx=e-e Shx=hx+√x2+1) arch=±(x+√x2-1) arthr I 三角函数公式 诱导公式 sin cos tg ctg 角 90°+a 180% -cosa-tg 180+a -sina -cosa tga ctga 270°-a 270+a-cosa sina --tga 3600-a-sina cosa --ctga 360+a sina cosa tga ctga 和差角公式: 和差化积公式: sin(a+B)=sin a cos Bt cos a sinp sin a+sin B=2si&+Bos a-B cos(atB)=cos a cos B +sin asn B a+B. a-B tgc±t sin a-sin B=2cos g(a±B +B a-B clg(a±B cga·ctgB1 cosa+cos B=2cos cgB±cga cosa-cos B=2sin +B. a-B
中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 cos cos 2sin 2 cos 2 cos cos 2cos 2 sin 2 sin sin 2cos 2 cos 2 sin sin 2sin + − − = + − + = + − − = + − + = ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg = = = = 1 ( ) 1 ( ) cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin x x arthx archx x x arshx x x e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x − + = = + − = + + + − = = + = − = − − − − 1 1 ln 2 1 ln( 1) ln( 1 : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ) 2.718281828459045... 1 lim (1 1 sin lim 0 + = = = → → e x x x x x x
中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 倍角公式 n 20=2 sin a cos a cos 2a=2 cos2a-1=1-2sin 2a= cos a sin 3a=3sn a-4sin'a ctga- ctga tg3 3iga-tga 2t 1-3g 1-1ga 半角公式 2/-cosa 1+cosa 182V1+cosa sin a 1+cosa s =+ I-cosa 1-cosa sin a 1+cosa 1+cosa cosa sin a 1-cosa 正弦定理 b 一=2R 余弦定理:c2=a2+b2-2 ab cosc A C 反三角函数性质: arcsin x=2- arccos x arctgx=--arcctga 高阶导数公式—莱布尼兹( Leibniz)公式: un)y+nu( -v'+ n(n-1) n(n-1)…(n-k+1),(m-k),、k 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f(b-a) 柯西中值定理: f(b)-f(a)f(2) F(b)-F(a)F(5) 当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 曲率 弧微分公式:d=√l+y2ax,其中y=1ga 平均曲率;=AAa:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量:As:M弧长 M点的曲率:K=ln 直线:K=0 半径为a的圆:K
中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) ·倍角公式： ·半角公式： 1 cos sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin − = + = − + = + = − = + − = + = − = t g ctg ·正弦定理： R C c B b A a 2 sin sin sin = = = ·余弦定理： c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ·反三角函数性质： x = − x arctgx = − arcctgx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) ( ) n n n n k k n n k k n k k n n u v uv k n n n k u v n n u v nu v uv C u v + + − − + + + − = + + = − − − = − 中值定理与导数应用： 当 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： x x F f F b F a f b f a f b f a f b a = = − − − = − F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 曲率： . 1 0; . (1 ) M lim . : M M s 1 , 0 2 3 2 a a K K y y ds d s K MM s K ds y dx y t g s = = + = = = = = + = → 半径为 的圆： 直线： 点的曲率： 平均曲率： 从 点到 点，切线斜率的倾角变化量； ： 弧长。 弧微分公式： 其中 2 3 3 3 1 3 3 3 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin tg tg tg tg − − = = − = − 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin sin 2 2sin cos t g t g t g ctg ctg ctg − = − = = − = − = − =
中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 定积分的近似计算 b 矩形法:「(x)≈=(y0+y1+…+yn) n 梯形法:」fx) n2(yo+yn)++…+ym1 抛物线法(x)=(y+y)+2(2+y+…+y”)+4+y+…+ym 定积分应用相关公式: W=F·s 水压力:F=pA 引力:F=km厘m2,k为引力系数 函数的平均值:y= b-auv(a)dx 均方根:f( 空间解析几何和向量代数: 空间2点的距离:d=M1M1=x2-x)2+(2-y)+(2-=1)2 向量在轴上的投影PAB= Bcos p,0是AB与轴的夹角。 Prj, (a,+a2)=Pr ja,+Pr ja ab=l4bos=ab+a,b,+ab2,是一个数量 ta 两向量之间的夹角:cos= a2+an2+a2.b2+b2+b2 c=a×b=,a,a同=园下m例:线速度:下=师x 向量的混合积=(6=b,b2x6a为锐角时, 代表平行六面体的体积
中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) 定积分的近似计算： − − − − + + + + + + + + + − + + + + − + + + − b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n b a f x y y y y n b a f x y y y n b a f x [( ) 2( ) 4( )] 3 ( ) ( ) ] 2 1 ( ) [ ( ) ( ) 0 2 4 2 1 3 1 0 1 1 0 1 1 抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式： − − = = = = b a b a f t dt b a f x dx b a y k r m m F k F p A W F s ( ) 1 ( ) 1 , 2 2 1 2 均方根： 函数的平均值： 引力： 为引力系数 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数： 代表平行六面体的体积。 向量的混合积： 为锐角时， 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 向量在轴上的投影： 是 与 轴的夹角。 空间 点的距离： [ ] ( ) cos , , sin . . cos cos , , Pr ( ) Pr Pr Pr cos , 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 a b c c c c b b b a a a abc a b c c a b v w r b b b a a a i j k c a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b j a a ja ja j AB AB AB u d M M x x y y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x x y y z z x x y y z z u u = = = = = = = + + + + + + = = = + + + = + = = = − + − + −
中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 平面的方程: 1、点法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(-=0)=0,其中n={A,BC},M0(xn,y0,二0) 2、一般方程:Ax+By+Cz+D=0 3、截距世方程:x++三=1 平面外任意一点到该平面的距离:d Ax+ Byo +C=o+ A- +B+C Mo 空间直线的方程 x-xo y-yo 2-20 b,其中=m,nP;参数方程y=+m 次曲面 、椭球面:x+22 2、抛物面:x+y2 F(pq同号) 3、双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面:x2+=马鞍面 多元函数微分法及应用 全微分:d=-dx+d dx+一dy+-d 全微分的近似计算:△xc=f,(x,y)Ax+J,(x,y)Ay 多元复合函数的求导法: 二=f[(),v(t) dz dt au at ay ar 二=f[(x,y),w(x,y) ax au ax av ax 当u=u(x,y),v=v(x,y)时 dy dv=dx+dy 隐函数的求导公式: d2ya,Fx、0,F3、d 隐函数F(xy)=0,d一,在aF,F dx F 隐函数F(xy,2)=0,=-上, F
中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) 双叶双曲面： （马鞍面） 单叶双曲面： 、双曲面： 、抛物面： （ 同号） 、椭球面： 二次曲面： 空间直线的方程： 其中 参数方程： 平面外任意一点到该平面的距离： 、截距世方程： 、一般方程： 、点法式： ，其中 平面的方程： 1 1 3 , , 2 2 2 1 1 , { , , }; 3 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 0 { , , }, ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − + = + − = + = + + = = + = + = + = = − = − = − + + + + + = + + = + + + = − + − + − = = c z b y a x c z b y a x z p q q y p x c z b y a x z z pt y y nt x x m t t s m n p p z z n y y m x x A B C Ax By C z D d c z b y a x Ax By C z D A x x B y y C z z n A B C M x y z 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x x y F F y z F F x z F x y z dx dy F F F y F dx x d y F F dx dy F x y dy y v dx x v dy dv y u dx x u du u u x y v v x y x v v z x u u z x z z f u x y v x y t v v z t u u z dt dz z f u t v t z dz f x y x f x y y dz z u dy y u dx x u dy du y z dx x z dz = − = − = − − = = − = + = + = = = + = = + = = = + + + = + = 隐函数 ， ， 隐函数 ， ， ＋ 隐函数的求导公式： 当 ， 时， 多元复合函数的求导法： 全微分的近似计算： 全微分： ( , , ) 0 ( , ) 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] [ ( ), ( )] ( , ) ( , ) 2 2
中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) aFaF 隐函数方程组:F(x,y,u1)=0 a(F,G)_au OvL_Fw Fr G(x,y, u,v)=0 (u,)3G∂G|G。G I O(F,G) Ov 1 a(F,G) Ox J a(x,v) ax a(,,x) I a(F,G) O(F,G) ay J a(, v) ay J a(u,y) 微分法在几何上的应用 =(t) 空间曲线y=W()在点Mx,0:)处的切线方程:xx=y-y=三 二=O(1) 在点M处的法平面方程:g'(t0x-x0)+v(nXy-y0)+o(t0(二-=0)=0 若空间曲线方程为(x,3)=0,则切向量=EEE G 曲面F(x,y,z)=0上一点M(x02y0,二0),则 l、过此点的法向量:n={F(xy2=0)F(x0,y,=0F(x0,y=0) 2、过此点的切平面方程:F(x0,y,=0x-x)+F(x,y,2Xy-y0)+F(x0,y,=0(z-=0)=0 y- yo 2-2 3、过此点的法线方程 F(x0,y0=0)F2(x0,y0,-0)F(x0,y,=0) 方向导数与梯度 函数=f(x,)在一点xy)沿任一方向的方向导数为:9=9(c05+mp 其中g为x轴到方向的转角。 函数=f(xy)在一点pxy梯度:gad(xy)=y+g 它与方向导数的关系是 grad∫(x,y)·e,其中= cos./+Snφ·j,为方向上的 单位向量。 是 gradf(x,y)在/上的投影。 多元函数的极值及其求法: it(xo, yo)=f (xo, yo)=0, A: f(xo,yo)=A, f(o, yo)=B, f(xo,yo)=C AC-B2>0时,40(x1)极大值 A>0、(xo,y)为极小值 则:AC-B2<O时 无极值 AC-B2=0时, 不确定
中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 u y F G y J v y v F G y J u u x F G x J v x v F G x J u G G F F v G u G v F u F u v F G J G x y u v F x y u v u v u v = − = − = − = − = = = = = 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： ( , , ) ( , , ) ( , , ) 3 2 ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 1 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} ( , , ) 0 ( , , ) , { , , } ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z n F x y z F x y z F x y z F x y z M x y z G G F F G G F F G G F F T G x y z F x y z M t x x t y y t z z t z z t y y t x x M x y z z t y t x t x y z x y z x y z x y x y z x z x y z y z − = − = − − + − + − = = = = = = − + − + − = − = − = − = = = 、过此点的法线方程： 、过此点的切平面方程： 、过此点的法向量： 曲面 上一点 ，则： 若空间曲线方程为： 则切向量 在点 处的法平面方程： 空间曲线 在点 处的切线方程： 方向导数与梯度： 是 在 上的投影。 单位向量。 它与方向导数的关系是： ，其中 ，为 方向上的 函数 在一点 的梯度： 其中 为 轴到方向 的转角。 函数 在一点 沿任一方向 的方向导数为： f x y l l f f x y e e i j l l f j y f i x f z f x y p x y f x y x l y f x f l f z f x y p x y l grad ( , ) grad ( , ) cos sin ( , ) ( , ) grad ( , ) ( , ) ( , ) cos sin = = + + = = + = = 多元函数的极值及其求法： − = − − = = = = = 时 不确定 时， 无极值 为极小值 为极大值 时， 则： 设 ，令： 0 , 0 0,( , ) 0,( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AC B AC B A x y A x y AC B f x x y f y x y f xx x y A f xy x y B f yy x y C
中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 重积分及其应用: f(x, y)dxdy=lf(coso, rsin O)drdo 曲面(的面()() 平面薄片的重心:x=M2bxp(x,yd M. JYp(r, y)do M p(r,y)ao Plx, yao 平面薄片的转动惯量:对于x轴,=y3p(x,y)d,对于轴,=x2p(x,yd 平面薄片(位于xoy平面)对轴上质点M(00a)(a>0)的引力:F={F,F,F},其中 F:=fff-p(x, y)xdo Fy=f p(x, y)yao F=-间一 p(x, y)xdo D(x'+y2+a (x2+y2+a2) (x2+y2+a2)2 柱面坐标和球面坐标 x=rose 柱面坐标:y=sm0.J(xy)dJF(:)obdh 其中:F(r,O,=)=∫( rose,rsn,z) x=rsin cos 球面坐标y= sinsin,dh=rdo, rsin dB:d=r2 sin drdo =cosip JJs(x,y, -)drdyd==JF(,,0)r sin pdrdode=de]do F(r,.,0)rsin gdr 重心:x=xh,y=Jyxh=1Mh,其中M=x=顶mh 转动惯量:1=(y2+2)oh,1,=J(x2+=2)poh,1=(x2+y2)moh 曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分): 设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为 x=(1) (a≤t≤B,则: y=v() (x,)=no)yo°()+y(out(a<B)特殊情况 y=q(1)
中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) 重积分及其应用： + + = − + + = + + = = = = = = = = + = = + = D z D y D x x y z D y D x D y D D x D D D x y a x y x d F f a x y a x y yd F f x y a x y x d F f xoy z M a a F F F F x I y x y d y I x x y d x y d y x y d M M y x y d x x y d M M x dxdy y z x z z f x y A f x y dxdy f r r rdrd 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 D 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (0,0, ),( 0) { , , } ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( cos , sin ) ， ， 平面薄片（位于 平面）对 轴上质点 的引力： ，其中： 平面薄片的转动惯量：对于 轴 对于 轴 平面薄片的重心： 曲面 的面积 柱面坐标和球面坐标： = + = + = + = = = = = = = = = = = = = = = = = I y z dv I x z dv I x y dv z dv M x dv M y dv z M x dv y M x f x y z dxdydz F r r drd d d d F r r dr dv rd r d dr r drd d z r y r x r F r z f r r z f x y z dxdydz F r z rdrd dz z z y r x r x y z r ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , 1 ( , , ) ( , , ) sin ( , , ) sin sin sin cos sin sin sin cos ( , , ) ( cos , sin , ) sin , ( , , ) ( , , ) , cos 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ( , ) 0 2 2 2 转动惯量： ， ， 重心： ， 其中 球面坐标： ， 其中： 柱面坐标： 曲线积分： = = = + = = ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) ( , ) 2 2 y t x t f x y ds f t t t t dt t y t x t f x y L L L 特殊情况： 设 在 上连续， 的参数方程为： 则： 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分) 设L的参数方程为x=0),则: ∫P(xy)d+(x,y)=J{P)w()9()+q)w(y()t 两类曲线积分之间的关系P+gh=j(Posa+QsB)s其中a和B分别为 L上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式(2一8b=手P+Q格林公式(一8b=手P+b 当P=y.Q=x,即:2-8=2时,得到D的面积:4=b=1于x- 平面上曲线积分与路径无关的条件 1、G是一个单连通区域 2、P(xy,Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且2=。注意奇点,如00,应 减去对此奇点的积分,注意方向相反 二元函数的全微分求积: 在2Q=时,P+Qb才是二元函数Mxy)的全微分,其中 (x,y)=「Px,y)d+Q(x,y)d,通常设x=y=0 曲面积分 对面积的曲面积分』(xy,)d=xx,1+:(x)+(x,d 对坐标的曲面积分P(xy2)+Q(x,y)dd+R(xy,)dd其中 R(x,y,)dd=±xy,=(x,y)dd取曲面的上侧时取正号; ∫P(x,y)d=+jPxy:)y,取曲面的前侧时取正号 ∫(x,y.)t=士cx,y(x):d,取曲面的右侧时取正号 两类曲面积分之间的关系Pahd+dk+khh=( Pcos+gcos+ Cosy)ds 高斯公式
中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) ，通常设 。 在 ＝ 时， 才是二元函数 的全微分，其中： 二元函数的全微分求积： 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 、 ， 在 内具有一阶连续偏导数，且 ＝ 。注意奇点，如 ，应 、 是一个单连通区域； 平面上曲线积分与路径无关的条件： 当 ，即： 时，得到 的面积： 格林公式： 格林公式： 上积分起止点处切向量的方向角。 两类曲线积分之间的关系： ，其中 和 分别为 设 的参数方程为 ，则： 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) · 2 ( , ) ( , ) (0,0) 1 · 2 1 , 2 ( ) ( ) ( cos cos ) ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( ) ( ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 = + = = + = = = − − = − = = + − = + − + = + + = + = = u x y P x y dx Q x y dy x y Pdx Qdy u x y y P x Q y P x Q P x y Q x y G G D A dxdy xdy ydx y P x Q P y Q x dxdy Pdx Qdy y P x Q dxdy Pdx Qdy y P x Q L Pdx Qdy P Q ds P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt y t x t L x y x y D L D L D L L L L 曲面积分： + + = + + = = = + + = + + Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx P x y z dydz P x y z y z dydz R x y z dxdy R x y z x y dxdy P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy f x y z ds f x y z x y z x y z x y dxdy z x yz xy xy D D D D x y ( cos cos cos ) ( , , ) [ , ( , ), ] ( , , ) [ ( , ), , ] ( , , ) [ , , ( , )] ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) 2 2 两类曲面积分之间的关系： ，取曲面的右侧时取正号。 ，取曲面的前侧时取正号； ，取曲面的上侧时取正号； 对坐标的曲面积分： ，其中： 对面积的曲面积分： 高斯公式：
中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) ∫+2+M=手Ph+Qd+Rhb=osa+Qeos+Rcsy) 高斯公式的物理意义一一通量与散度: 散度:dvp=+2+即:单位体积内所产生的流体质量,<0则为消失 通量nd=JA,d=」Peom+cosB+ Cosy)ds, 因此,高斯公式又可写成diAh=Ads 斯托克斯公式—曲线积分与曲面积分的关系 Iror 8g aP aR Ddedx+( ) dxdy=中Pdr+Qd+Rz dyde dxdx dxdy cosa cos Bcos 上式左端又可写成: ay az ax ay az P 0 R R 空间曲线积分与路径无关的条件 OR 00 aP aR 00 aP ay a az axax ay k 旋度: da aa ax ay az PO 向量场沿有向闭曲线r的环流量P+Qh+R=Ad 常数项级数: 等比数列+q+q2+…+q 等差数列+2+3+…+n(n+1 调和级数+++…+一是发散的 级数审敛法:
中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) = = = + + + + = = + + = + + + + Adv A ds A nds A ds P Q R ds z R y Q x P dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds z R y Q x P n n div ( cos cos cos ) div , div 0, ... ( ) ( cos cos cos ) 因此，高斯公式又可写成： 通量： ， 散度： 即：单位体积内所产生的流体质量，若 则为消失 高斯公式的物理意义— —通量与散度： 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： + + = = = = = = = + + − + − + − A Pdx Qdy Rdz A t ds P Q R x y z A y P x Q x R z P z Q y R P Q R x y z P Q R x y z dydz dzdx dxdy dxdy Pdx Qdy Rdz y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 向量场 沿有向闭曲线 的环流量： 旋度： 空间曲线积分与路径无关的条件： ， ， 上式左端又可写成： i j k rot cos cos cos ( ) ( ) ( ) 常数项级数： 调和级数： 是发散的 等差数列： 等比数列： n n n n q q q q q n n 1 3 1 2 1 1 2 ( 1) 1 2 3 1 1 1 2 1 + + + + + + + + + = − − + + + + = − 级数审敛法：
中国教育在线·成人高考频道http://chengkao.eol.cn) 1、正项级数的审敛法一一根植审敛法(柯西判别法) p时,级数发散 p=l时,不确定 定义法 sn=41+l2+…+un;imsn存在,则收敛;否则发散。 交错级数u1-2+23-u4+…(或-u1+u2-l2+…Lun>0)的审敛法一—莱布尼兹定理 如果交错级数满足m=0那么级数收敛且其和≤n,其余项的绝对值区n 绝对收敛与条件收敛: (1)1+2+…+un+…,其中ln为任意实数; (2)1+2|++…+pun 如果(2败收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数 如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。 调和级数∑发散,而∑二收敛 级数∑收敛 级数∑(s1时发散 n\p>时收敛 幂级数
中国教育在线·成人高考频道(http://chengkao.eol.cn) 存在，则收敛；否则发散。 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 设： ，则 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 设： ，则 、正项级数的审敛法 — —根植审敛法（柯西判别法）： n n n n n n n n n n s u u u s U U u → + → → = + + + = = = = ;lim 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 1 2 1 如果交错级数满足 ，那么级数收敛且其和 其余项 的绝对值 。 交错级数 或 的审敛法— —莱布尼兹定理： 1 1 1 1 2 3 4 1 2 3 , lim 0 ( , 0) + → + = − + − + − + − + n n n n n n n n s u r r u u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛： − + + + + + + + + + 时收敛 ｐ １时发散 级数： 级数： 收敛； 调和级数： 发散，而 收敛； 如果 发散，而 收敛，则称 为条件收敛级数。 如果 收敛，则 肯定收敛，且称为绝对收敛级数； ，其中 为任意实数； 1 1 1 1 ( 1) (2) (1) (1) (2) (1) (2) (1) 2 1 2 3 1 2 n p p n n n u u u u u u u u p n n n n 幂级数：