将(1.6)、(1.7)代入(1.1)，並注意a与a1(i=1、2,j=1.2)的夹角，有 K。12=k1)-k:2)-(k1)-k1)8in2p+(k!2)-k22)in2(p-p) (1.8) (1.8)式是相对法曲的表达式，它是有向角P的函数。两相切仙面在切点P有无数个 相对祛曲。另外，(1.8)式亦可以由任意方向法曲率的欧拉公式推出。 2.相对主曲率 由丁两曲面在切点P的相对法曲面率有无限多个值，把其中的最大值和最小值称为在P 点的相对主曲率，分别用K2’、K:22’表示，相应的方向称为相对主方向。 为了求得相对主曲率和相对主方向，可令(K,)'。=0,解得 (k1'3-k51)8in2p-(ki2)-k22'in2(p-po)=0 (1.9) 满足(1.9)式的P就是相对主方向。 h于m=,与m=中+2满是(1.9)，因此，在P点的公切面t上有两个互相垂直的 正方向，一个方向上的相对法曲率达到最大偵，另一方向达到最小值。但是，相对主方向与 ·一个曲面的主方向一般是不承合的。 将(1.9)代入(1.8)，可得到两曲而在切.点P处相对主曲的计算式： K2=〔(k)+k)-(k2)+k2) 2 -、(k4’-k2)2-2(k-k2)(k2)-k2)C082p。+(k2-k22)7 (1.10) K52=2k+k经)-(k2+k2) +√(k)-k5)2-2(k1)-k)(k2)-k2)co82p,+(k:2)-k2) (1.11) 任意方向的相对法曲率(1.8)和相对主曲率之间有一重要关系：两曲而在切点P的任 意两个互相垂直的方向的相对法曲率之和等于两个相对丰曲半之和。 事实上，若设为任方向，跟它藤直的方向为甲+冬，相应的相对法曲率分别为 K2)、K22),由(1.8)式可得 K:2)+K22)=(k1)+k21)-(k2)+k223) (1.12) 再由(1.10)与(1.11)可得 K2+K022=(k)+k经1)-(k2+k2) 即 K62)+K22)=K2)+K622) 二、共轭曲面的诱导法曲率 若两曲面三：、三：在某一瞬时t沿一条空间曲线C:（接触线)相切，当规定了相对运动条 件，在一定的意义下三，可以看成曲面族{三：的包络面，三，也可以看成曲而族{三：}的包络 128, 一》 - 争 将 ( 1 . 6 ) 、 ( 1 . 7 ) 代 入 ( 一 ,l ) , 业 注意 a 与 a ; ” ( i = 一 、 2 , j = 1 . 2 ) 的夹 角 , 有 K 二 ` 么 ’ = k 万 ` ’ 一 k 、 “ ’ 一 ( k ( ` ’ 一 k 互” ) ia n 里甲 + ( k 气 2 ’ 一 k 玉 艺 ) ) is n Z ( 甲 一 印 。 ) ( 1 . 8 ) ( 1 . 8) 式是 相对 法 曲率 的表达式 , 它 是有向角 甲 的 函 数 。 两相切 曲 面在 切点 P 有无数 个 相 对 法曲率 。 另外 , ( 1 . 8) 式亦 「: f 以 由任意 方 向法 曲率 的欧 拉公式推 出 。 2 . 相对主 曲率 由于 两曲面 在切 点 P 的相 对法 曲面 率有无限多个值 , 把 其 中的最 大值 和最 小值称 为在 P 点的相 对主 曲率 , 分别 用 K 二{ 2 ’ 、 K 二 2 2 ’ 表 示 , 相 应的方 向称 为相对 主方 向 。 为 了求得相 对 主曲率 和相 对主 方向 , 可令 ( K 。 ` 念 ’ )称 = o , 解得 ( k ; ` ’ 一 k 压” ) is n Z甲 一 ( k , 2 ’ ) 一 k 玉 名 ) ia n Z ( 印 一 印 。 ) = o ( 1 . 9 ) 满 足 l( . 9) 式 的 印就是相 对 主方向 。 ,h于 甲 = 印 1与甲 = 印 1 + 奇 一 满足 “ · ” , , 因此 , 在 ” 点的公切 而 “ 上 有两个互相垂直 的 主方 向 , 一个方 向上 的相对 法 曲率达 到 最大值 , 另 一方 向达 到最小值 。 但是 , 相对 主方 向与 一个 曲而 的主方 向一 般是不 索合的 。 将 ( 1 . 9) 代 入 ( t . 8) , 一 ,咐导到两 曲而 在切 点 P 处相 对主 曲率 的计算 式: K “ , ’ J = 通 一 〔` k ; ” + k “ ` ” 一 ` k气” + k “” , 一 、 / ( k } ` ’ 一 k Z ’ 犷江几 ( k }” 一 k : ` , ) ( k } ” 一 k 三” ) co , 2 甲。 + ( k ( ` ’ 一 k 玉” ) ’ ( 1 . 1 0 ) K 二 2 2 ’ = ; 〔` k ; ` ’ + k “ ” , 一 ` k : ” 十 k Z` ” + 亿 ( k : ” 一 k气” ) “ 一 2 ( k反” 一 k压 ` ’ ) ( k l ” 一 k三” ) e os Z印。 + ( k 气 2 ’ 一 k 呈” ) : ( 1 . 1 1 ) 任 意方 向 的相 对法 曲率 ( 1 . 8) 和 相对 主 曲率 之 间有一 垂要 关系 : 意两个 互相垂 直 的方 向的相 对法 曲率 之和 等于 两个 相对 主 曲率 之 和 。 两 曲而 在切点 P的任 事实上 , 若 设 印为任 一 方向 , 跟 它垂 直的方 向 为 甲 + 一吸 - 乙 相 应 的相 对 法 曲率 分 另lj为 K 爪{ , ’ 、 K 认主 生 ’ , 由 ( 1 . 8 ) 式 可得 K 二: 2 ’ + K 认玉 , ’ 二 ( k i ` ) + k Z ` ) 一 ( k 飞 2 ’ + k 玉 2 ’ ) ( 1 . 1 1) ’ .f 得 K 二) “ ` + K 导2圣 ` 二 ( k 反 ` ’ + k 玉 ` ’ ) 一 ( k ; 么 ’ + k 玉 2 ’ ) K 二{ 2 ’ + K 盖二 2 ) = K :’, { 2 ’ + K 毛 2 “ ) ( 1 . 1 2 ) 再由 l( . 10 ) 与 二 、 共 扼 曲 面 的诱导法 曲率 若 两曲面 艺: 、 艺 : 在某 一瞬 时 t沿一 条空间 曲线 C : (接触 线 ) 相 切 , 当规 定了相 对运 动条 件 , 在 一 定 的意义 下三: 可 以看成曲面族 { 万 ; ` }的包 络 而 , 芝 ; 也可 以 看成 曲而 族 { 艺 艺 ’ }的 包络 1 2 8