2,用隐函数偏导数表示的综合曲串 共轭曲面∑、Σ2，如果设三1是单参数的曲面族F(×1,y1,z1,t)=0,则∑2是此曲 面族的包络，方程为 JF(x1,y1,z1,t)=0 (3.5) F,(x1,y1,z1,t)=0 今过两曲面接触线C:上任一点P(x。,y。,z)作一截面x1=xo,它在t时刻与曲面族的交线 为C1,与2，交线为C2,C,与C2在P点相切，切向量为tx。如果设平面曲线C1和C,在切点P 的曲率分别为k})和k:’,则据一元函数微分学可得 ks)=ks(FyuE-FE) F,(Fv12+F2:2)2 (3.6) ksa)=2EEE-ExE-FE (F,12+f,:2)2 由于C:与C2一般不是法截线，故(3.6)式并非曲面∑1、Σ，沿tx方向的法曲率。为了求 出法曲率，需要讨论C1与C2两种不同的接触。 第一种接触，C与C2的凹向一致，在P点的主法线向量v1、V,重合，曲面法向量丑 ,与v1(或v2)的夹角为0，取截面x1=x的单位法向量nx0={1,0,0}。 若设2、2沿Tx方向的法曲率为k:1)、k2),诱导法曲率为K沿》=k2)一k1”,据 麦尼埃定理，可求得 (FF24-F2F)2 K6'=FF2+,+F2(F,+F万 (3.7) 同理，对于截面y1=y,曲面Σ1、∑，沿Ty方向的诱导法曲率为 （F1F-F2Fx)2 K别”=FF+f,+Fa0F+下 (3.8) 由于τx与Ty互相垂直，根据上面得到的综合曲率应等于这两个方向的诱导法曲率之 和，则曲面Σ1、Σ，在P点的综合曲率K子’（它与K&辶2）相差一负号)，应有 K经)=K甜+K治) F:1 即 F,F,+ K3”=F,(F+下，+F7F2+F,2 Fyi+F2i (3.9) 上式是用的稳函数偏导数给出的综合曲率的计算式，只要给出母面方程，规定了相对运 动的条件，即已知曲面族F(x1,y1,z1,t)=0,就可通过(3.9)式算得综合曲率。 第二种接触，C:与C2的凹向相反。 跟讨论第一种接触时一样，曲面Σ！、Σ，沿Tx方向的诱导法曲率为 (FF:1-F:F) K6”=-下F￥，F(,+F) +2FyyF3+FFy3-2FFyF21 (3.10) (Fx+Fy2+F2)/2(F+F2) 1272 . 用陇函数伯导橄衰示 的综 合曲 率 共扼 曲面 乏 : 、 艺 : , 如 果设 艺 , 是 单 参数的 曲面族 F ( x , , y : , z : , t ) 二 。 , 则 艺: 是此曲 面 族的 包络 , 方 程为 { F ( x : , y : , z , , t ) = 0 F t ( x ; , y : , 2 , , t ) = 0 ( 3 . 5 ) 今过 两曲面接触 线 C . 上任 一点 P ( x 。 , y 。 , z 。 ) 作一 截面 x : 二 x 。 , 它 在 t 时刻 与 曲面 族 的交线 为 c , , 与艺: 交 线为 c : , c : 与 c : 在 P 点相 切 , 切 向量为育 : 。 如 果 设平 面曲线 c : 和 c : 在切点 P 的 曲率分 别 为 k 轰孟) 和 k 二污 ’ , 则 据一 元 函数微 分 学可得 一)zF k 二孟 , = k 二若 ’ 一 ( F , l : F : r 一 F : 一 t F 曰 ( F , 1 念 + F : r ( 3 . 6 ) 一F 1 2 , _ Z F , l : , F , : F : : 一 F , x , 1 ( F , : “ + F : 2 一 F : 1 : I F , 1 1 由于 C : 与 C : 一般不是法 截线 , 故 ( 3 . 6) 式并非 曲面艺: 、 艺 : 沿 二 : 方向的法 曲率 。 为了求 出法 曲率 , 需要讨 论 C , 与 C : 两种不 同 的接触 。 - ) 、 第一 种 接触 , C , 与 C : 的 凹 向一 致 , 在 P 点 的主法线 向量 v : 、 一 》 ~ ) 与 v : ( 或 v : ) 白龟多角为 e, 取 截面 x : = x 。的 单位法 向量 ” · 。 “ { ` , v : 重合 , 曲面 法向t n 0 , 0 } 。 若设 艺: 、 艺 2 沿 T : 方 向的法 曲率为 k 孟” 、 k 盆 2 ) , 诱 导 法曲率 为 K 蕊若孟 ’ = k 孟 , ’ 一 k 盖 ` ’ , 据 麦尼埃定理 , 可求得 二 r , , 、 _ ( F , , . F , , 一 F , , . F 。 , ) 2 I 、 孟: 污 ’ = 二二~ 一一 , , 二二 , - 月 一 二子一 . 二二二犷一` 二资` , = 己三一一 r , 一二二 -言甲 护 : : ( 护 x 士+ 护 ’ , 份+ 护 : 于) ’ · 乙 ( 卜 ’ 、 士+ 护 : 士) ( 3 . 7 ) 同理 , 对于 截面 y : = y 。 , 曲面 芝 , 、 芝 2 沿 T , 方 向 的诱导 法 曲率为 K 轰圣占 ’ = 竺 一一二里山里 F 二 ( F : 货+ F , l 一 F : 1 : F : 一 ) 名 苹护 : 资) ( F : 子+ F : 子) ( 3 . 8 ) . 争 由于 T : 与 : , 互相 垂直 , 根据 上面 得到的 综 合 曲率应 等于 这 两个方 向 和 , 则 曲面 芝: 、 艺 2 在 P 点的综 合 曲率K 吞圣 ` ’ ( 它 与 K 二是 “ ) 相 差一 负号 ) , 的诱 导法 曲率之 应 有 几J 二. 叼」 2 0 `、rn K 二圣 ` ’ 二 K 盆若孟 ) + K F : - F 21 r 一| . 一 F 一+ ZLr 凡肠vF… ù + 一么 2人 F ` z F 一+F 人Zt 人. .且. 件 !队一’Fx 即 K 台圣 ` ’ = F . : ( F : 子+ F 丫 飞+ F : 圣) ` / “ ( 3 . 9 ) 上式 是用 的稳函数偏导 数给 出的 综 合 曲率的 计 算式 , 只要 给 出母 面方 程 , 规 定了相 对运 动 的条件 , 即 已知 曲面族 F ( x : , y : , z : , t ) 二 o , 就可 通过 (3 . 9) 式算得 综合 曲率 。 第二种 接触 , C : 与 C : 的 凹向相 反 。 ~ 月卜 跟讨 论 第一种接触时一 样 , 曲面 艺 , 、 艺 : 沿 : : 方 向的诱 导法 曲率为 _二几二 _ : 卫 2止少 二 : 卫u r _ _ _ _ F : : ( F 、 子+ F , 子+ F : 资) ` / 2 ( F , 予+ F : 子) 2 ( F , : , , F Z子+ F : , : I F , 子一 Z F , ; : : F , : F : , ) ( F : 子+ F , 圣+ F : 子) ’ / “ ( F , 圣+ F : 资) ( 3 . 1 0 ) 1 27