《北京铜铁学院学报》：诱导法曲率

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1980.0M.027 北京钢铁学院学报 1980年第4期 诱导法 曲 率 数学教研室冯镶坤 摘 要 诱导法曲率是啮合理论的重要内容，国内外都有人研究过，主要是用以空间啮 合定律·V=0为基础的运动学法。本文是用包络法先讨论相对法曲率和相对主 曲率，然后讨论诱导法曲率和综合曲率，得到的结果在SG-71新型蜗轮付上作了计 第。 诱导法曲率，是研究两个相切曲而相对弯曲程度的量。在机械传动中，它对油膜承载能 力、接触应力和功事消耗等影响较大。国外对诱导法曲率采取不同的方法进行研究，例如美 用运动学法〔1)，苏用运动几何学法〔2)，日用二元矢量法〔3)，等等。我国的南开大学用相 对微分法〔4)，陈志新用向量回转法〔5)，转早地对诱导法曲率进行了研究。以上国内外这些 方法，主要是以空间啮合定律·V=0为基础的运动学法，一般不用包络法来讨论诱导法 曲宝。 本文是用包络法讨论诱导法曲率，先讨论相对法曲率和相对主曲率，然后讨论诱导法曲 率和综合曲率。得到的结果在SG-71新型蜗轮付上作了计算〔6〕。 一、相切曲面的相对法曲率 1,任意方向的相对法曲事 两个任意曲面S:、S,在P点相切，法向量为，在过该点的公切面上给定-一方向a, 设三、S:是简单曲面块，没有奇点，两曲面沿a方向相应的法曲率为Kg’、K:2’,通 常把 K12’=K61:-Kg2) (1.1) 称为曲面S!、S2在P点沿a方向的相对法曲率。 在切点P,设曲面三，的两个主曲率和两个主方向分别为k,k经，a),a),曲面 三.的两个主曲率和主方向分别为k2)、k2)a2)、a2,a到a2的有向角为p, a1到a的有向角为p,a1’(i=1,2,j=1,2)都是单位向量（图1）。 在心上，点P的向径为Y(u,v),过P沿a)、a’的两条参数曲线选为曲率线。 並设沿a方向的任-曲面曲线为C1),S为弧长参数（图2），有 12

北 京 铜 铁 学 院 学 报 1 9 5 0 年第 4 期 诱 导 法 曲 率 数学教研 室 冯扭坤 摘 要 诱导 法 曲率是 啮合 理论 的重 要 内容 , 国 内外 都有 人研 究过 , 主要是 用 以空 间啮 合 定律 育 . 节 = 。 为墓 础 的运 动学法 。 本 文是 用包 络法 先讨 论 相对法 曲率和相对主 曲率 , 然后讨论 诱 导法 曲率 和综合 曲率 , 得 到的结果 在 S G一 71 新型蜗 轮付上作了计 算 。 诱 导法曲率 , 是研 究两个相切 曲 面相 对 弯曲程 度的 量 。 在 机械传动 中 , 它对 油膜 承载能 力 、 接触应 力和功 率消耗 等影 响较 大 。 国外 对诱导 法 曲率采 取不同 的方法进 行研 究 , 例 如 美 用运 动 学法 〔1〕 , 苏 用运 动几何学法 〔2〕 , 日用二 元矢量 法 〔3 〕 , 等等 。 我国的南 开大学用 相 对微分 法 〔4 〕 , 陈 志新 用向量 回转 法〔5 〕 , 转早地 对诱 导法 曲率进 行 了研究 。 以上 国内外这 些 方法 , 主 要是 以 空间啮合 定律 言 . 节 一 。 为基 础的运 动学法 , 一般不 用包 络法 来讨论诱导 法 曲率 。 本 文是用包络 法讨论诱 导法 曲率 , 先讨论 相 对法 曲率和 相对 主 曲率 , 然后讨 论诱 导法 曲 率 和综 合 曲率 。 得 到的 结果在 S G一 71 新 型蜗 轮付 上作 了计 算( 6 〕 。 一 、 相切 曲面的相对法 曲率 1 . 任愈方 向的相 对法曲率 两个任 意曲 面 艺 , 、 艺 : 在 P, 点相 切 , 设 艺 , 、 万 : 是简 单曲 而 块 , 没 有奇点 , 常把 法 向量为 n , 在过该 点 的公 切 面上 给定 一 方 向 a , 两 曲面 沿 a 方 向相 应 的法 曲率为 K 盆 ` ’ 、 K 氛 至 ’ , 通 K 孟 ` 2 ’ = K 蕊 ` 全 一 K 二 乞 ) ( 1 . 1 ) 称 为曲 面 万 : 、 万 2在 P点 沿 a 方 向的相 对法 曲 率 。 、 , 在切 点 P , 设 曲面 甄 的两个主 曲率和 两悠 方 吵 别砂“ ) 、 嵘 ` ’ , “ 圣 ` ’ 、 “ 玉 ` ’ 万 : 的两个主 曲率 和主方 向分 别为 k 三 2 ’ 、 k 岌 忿 ) a l 忿 ’ 、 a 呈 : ) , a 又 ` ’ 到 a 二 : ) 的 有 向 角 为 叫 今川今 卜 . , 卜 a 呀 ` ) 到 a 的有向角为 甲 , ( i 二 1 , 在 艺 : 上 , 点 P 的向径 为 丫 ( ’ ) ( u , v ) 亚 设 沿 a 方向 的任一曲面 曲线为C ( ’ ) , 2 , j = i , 2 ) 都是单位 向量 ( 图 l ) 。 , 过 P 沿 言护 , 、 言犷 ) 的两条 参数曲线 选为 曲 S 为弧 长 参数 ( 图 2 ) , 有 甲 。 - 仁线 。 1 2通 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1980. 04. 027

K=-(g) (1.2) (2》 a” a 2 a -a 01 图1 图2 同理，在曲而三，上，设过点P沿u方向的任一曲线为C(2),弧长参数为8，微分符号为 8,有 (1.3) 由(1.1)、(1.2)和(1.3)得 K)= -[):(片小à (1.4) 据罗德里克方程，有 ()器-k8 =-k, (1.5) 同理， n,=-k.Yg1)了 再由 a=cos o a)+sin a), ri1)dv d's=sina, 85=0pa5 可得到 (5)片-k好c-k经singa经 (1.6) 同理可得 88行=-k2'co8(m-po)af)-k经inp-p)a, i8 n (1,7) 125

I丈 。 一》 . “ ( 1 . 2 ) 、 令 /、、J n ō s , 0 心 (l / l 、 、 、 一 吸侣) 一r之) 图 l 同 理 , 在 曲而 艺 2 上 , 设 过点 P 沿 u 方 向的任 一 曲线 为C ( 2 》 , 弧 长 参数 为习 , 微分 符 号为 乃 , 有 K 众 2 ’ ( 1 . 3 ) 由 ( 1 . 1 ) 、 ( 1 . 2 ) 和 ( 1 . 3 ) - 》 . _ , U 1 1 、 一 戈 一 助 夕了 ’ a 得 ó K 认 ` 2 ’ 二 一 〔 厂翻 : 一 濡 ) : 」 · 言 据罗 德 里克 方 程 , 有 厂d 言、 _ = \ d s / 荞 ! ) = 一 k ; ` ’ 补 , : 兰 一卜 = 一 k : ` ’ Y 一 争 二 一 k 是 ` 丫 ( 1 . 5 ) 、.、 ! 吸人二. `沙、J, . 同 理 , 再 由 - ) = C O S 甲 a ` 〕 + B i n _ _ 咔 甲 a 今净兮nan - ) 丫 : ) d y d S = ia n 甲 a { ` ` 。 , 、 d u Y 舀 一 ` 一 d s 叫卜 = C O S 甲 a 可得 到 一 k ; ` ’ e o s 甲今 ` 口 孟 一 k 是 ` ’ is n 甲 a 玉 ` ’ ( 1 . 6 ) 咔a 一 k ( “ ’ cos 二( 甲 一 甲 。 ) a l ” 一 k 玉” 苗n , (甲 一 甲。 ) 一一 4 。今 · 、、 、 /、`jl dn 今 / 一 ! , 、 I 、 J / ǔ肠切dS斗 同 理 叮得 ( 1 , 7 ) 1 2 5

D(cp)oz-vABcp-ctp 2 sin2 A (2.6) 这里的A卡0，B+0,即能根据(2.5)式定出p。若A=0,B+0,即k1)=k1) =k1),a与a2的夹角为9，据欧拉公式，任意方向的诱导法曲率为 Kg12)=k‘1)-kf21+(kf2)-k52)in20 若A牛0，B=0,即k2)=k52)=k2),有 K612)=kf1)-k(2)-(k1)-k;1)in2p 三、综合曲率 从上面的讨论可知，共轭曲面沿接触线方向的诱导主曲率等于零(K&})=0)，则与 接触线垂直方向为另一诱导主方向，相应的诱导主曲率达到最大值（对K。的绝对值来说）， 我们把这个诱导主曲率称为综合曲率。 两曲面在切点P的综合曲率，与在该点的诱导主曲率和任意方向的诱导法曲率有着密切 的联系，有一重要结论： 共轭曲面的综合曲率等于任意两个互相垂直方向的诱导法曲率之和，也等于两个诱导主 也带带非章。垂垂垂 曲率之和。 事实上，将(2.4)式代入(1.11)，得到 K})=(k1)+k1)-(k12)+k2) (3.1) 再与(1.12)、(1.13)对比，可得此结论。 工程上用得最多的是综合曲率半径（即综合曲率绝对值的倒数），因此，我们要讨论综 合曲率的几种表示。 1,用两类基本量表示的综合曲率 对于曲面Σ1，设它的第一与第二基本量分别为E1、G1、F1,L1、M1、N。据微分几 何，：在点P的主曲率k1’、k分别是方程 (E1G:-F,2)k2-(E,N:-2F,-M,+GL1)k +(LN,-M:)=0 的两个根。由根与系数的关系有 k11,+ks1=E:N:-2FM+G:L (3.2) EG-F2 对于曲面Σ2，设它的两类基本量分别为E2、F2、G2,L2、M2、N2,同样有 kf)+ks:)=E:N:-2F:M:+G:L: E2G2-F22 (3.3) 将(3.2)、(3.3)代入(3.1)，有 K-EN:-2F:M+G:LL-E:N:-2F:M:+G:L: E,G1-F,2 (3.4) E2G2-F22 上式就是用曲面Σ1、Σ2的两类基本量表示的在切点P的综合曲率的计算式。 126

盆K ’ 名 ’ = C + D . / 一A B . C、 D _ _ 一蕊— 甲 (一 ~ . 一 十 一飞 , 一 】C O吕 艺甲 一 乙 \ 乙 八 / 、 / A B C D 一 C 笼 D Z A 苗n Z甲 ( 2 . 6 ) 选里 的 A -卜 = k “ , , a 与 B 斗 o , 即能 根据 ( 2 . 5 ) 式定 出 甲 。 。 若 A = o , B 今 0 , 即 k 呀 ` ’ = k 三” 的夹角 为O , 据 欧拉公式 , 任意方 向的诱 导 法 曲率 为 若 A 今 O , B = 0 , K , : ’ = k ` ” 一 k i : ’ + ( k ; 2 ’ 一 k 呈 : , ) 颐n 2 0 即 k 互 : ’ = k 玉 : ’ = k ` : ’ , 有 , ” = k 飞 ’ ) 一 k ( 2 ’ 一 ( k 王 ` ’ 一 k 玉 ’ ) ) ia n : 甲 科t叮韧 三 、 综合 曲率 从上 面的讨论可 知 , 共耗曲面 沿接触线 方向的诱导 主 曲率 等于零 ( K 吞孟 , 、 = 0) , 则与 接触线 垂直 方向为另一诱 导 主方 向 , 相 应 的诱导 主 曲率达 到最 大值 ( 对 K 二孟 名 ’ 的绝对值 来说 ) , 我们 把这个诱 导 主 曲率称 为综 合 曲率 。 两 曲面 在切 点 P 的综 合 曲率 , 与在 该点的诱 导主 曲率和 任意 方 向的诱导 法曲率 有着密切 的联系 , 有一重 要结论 : 共扼曲面 的综 合曲率 等于 任意两个互 相垂 直方 向的诱 导 法 曲率 之 和 , 也等于 两个诱 导 主 曲社’fo ` ” ” · · · · · · · · · · . . . . . . … … …事实上 , 将 (2 . 4) 式 代 入 K 另 , ) = ( 1 . 1 1 ) , 得到 ( k i ` 》 + k 玉 ` ’ ) 一 ( k 飞 2 ’ + k 玉 : ’ ) ( 3 . 1 ) 再与 ( 1 . 2 2 ) 、 ( 1 . 1 5 ) 对比 , 可得此 结论 。 工程 上 用得最 多的是综合 曲率半径 ( 即综合 曲率 绝对值 的倒数 ) , 合 曲率的几 种表示 。 1 . 用 两 类签本 . 衰示 的综合 曲率 对于 曲面艺: , 设 它的 第一与 第二 基 本量分 别为 E : 、 G , 、 F , , L : 、 何 , 艺: 在点 P 的主 曲率 k 气” 、 k 三 ` ’ 分 别是 方 程 ( E I G z 一 F : 2 ) k Z 一 ( E I N ; 一 ? F , 一 M : + G , L l ) k + ( L I N : 一 M : 2 ) = 0 的 两个根 。 由根 与系数的关系有 因此 , 我们 要讨论综 M : 、 N : 。 据微 分几 k 盆” + k 三 ’ ) = E , N 一 Z F , M E I G I 一 岩 + G I L : ( 3 . 2 ) 对于 曲面艺 : , 设 它 的两 类基 本量 分别 为E : 、 F Z 、 G Z , L : 、 M : 、 N : , 同样有 k 盖 2 ) + k 压 : ) = E : N z 一 Z F Z M : + G : L E : G : 一 F : 2 有 ( 3 . 3) 将 ( 3 . 2 ) 、 ( 3 . 3 ) 代入 ( 3 . 1 ) K 二主 : ) = E : N : 一 Z F : M : + G , L , 上式就是 用 曲面 艺: 、 E 一 G l 一 F I 么 E Z G : 一 F : 1 艺 2 的 两类 基本量 表示 的在 切点 P 的综合 曲率的计算式 。 ( 3 . 4 ) 1 2 6

2,用隐函数偏导数表示的综合曲串 共轭曲面∑、Σ2，如果设三1是单参数的曲面族F(×1,y1,z1,t)=0,则∑2是此曲 面族的包络，方程为 JF(x1,y1,z1,t)=0 (3.5) F,(x1,y1,z1,t)=0 今过两曲面接触线C:上任一点P(x。,y。,z)作一截面x1=xo,它在t时刻与曲面族的交线 为C1,与2，交线为C2,C,与C2在P点相切，切向量为tx。如果设平面曲线C1和C,在切点P 的曲率分别为k})和k:’,则据一元函数微分学可得 ks)=ks(FyuE-FE) F,(Fv12+F2:2)2 (3.6) ksa)=2EEE-ExE-FE (F,12+f,:2)2 由于C:与C2一般不是法截线，故(3.6)式并非曲面∑1、Σ，沿tx方向的法曲率。为了求 出法曲率，需要讨论C1与C2两种不同的接触。 第一种接触，C与C2的凹向一致，在P点的主法线向量v1、V,重合，曲面法向量丑 ,与v1(或v2)的夹角为0，取截面x1=x的单位法向量nx0={1,0,0}。 若设2、2沿Tx方向的法曲率为k:1)、k2),诱导法曲率为K沿》=k2)一k1”,据 麦尼埃定理，可求得 (FF24-F2F)2 K6'=FF2+,+F2(F,+F万 (3.7) 同理，对于截面y1=y,曲面Σ1、∑，沿Ty方向的诱导法曲率为 （F1F-F2Fx)2 K别”=FF+f,+Fa0F+下 (3.8) 由于τx与Ty互相垂直，根据上面得到的综合曲率应等于这两个方向的诱导法曲率之 和，则曲面Σ1、Σ，在P点的综合曲率K子’（它与K&辶2）相差一负号)，应有 K经)=K甜+K治) F:1 即 F,F,+ K3”=F,(F+下，+F7F2+F,2 Fyi+F2i (3.9) 上式是用的稳函数偏导数给出的综合曲率的计算式，只要给出母面方程，规定了相对运 动的条件，即已知曲面族F(x1,y1,z1,t)=0,就可通过(3.9)式算得综合曲率。 第二种接触，C:与C2的凹向相反。 跟讨论第一种接触时一样，曲面Σ！、Σ，沿Tx方向的诱导法曲率为 (FF:1-F:F) K6”=-下F￥，F(,+F) +2FyyF3+FFy3-2FFyF21 (3.10) (Fx+Fy2+F2)/2(F+F2) 127

2 . 用陇函数伯导橄衰示 的综 合曲 率 共扼 曲面 乏 : 、 艺 : , 如 果设 艺 , 是 单 参数的 曲面族 F ( x , , y : , z : , t ) 二 。 , 则 艺: 是此曲 面 族的 包络 , 方 程为 { F ( x : , y : , z , , t ) = 0 F t ( x ; , y : , 2 , , t ) = 0 ( 3 . 5 ) 今过 两曲面接触 线 C . 上任 一点 P ( x 。 , y 。 , z 。 ) 作一 截面 x : 二 x 。 , 它 在 t 时刻 与 曲面 族 的交线 为 c , , 与艺: 交 线为 c : , c : 与 c : 在 P 点相 切 , 切 向量为育 : 。 如 果 设平 面曲线 c : 和 c : 在切点 P 的 曲率分 别 为 k 轰孟) 和 k 二污 ’ , 则 据一 元 函数微 分 学可得 一)zF k 二孟 , = k 二若 ’ 一 ( F , l : F : r 一 F : 一 t F 曰 ( F , 1 念 + F : r ( 3 . 6 ) 一F 1 2 , _ Z F , l : , F , : F : : 一 F , x , 1 ( F , : “ + F : 2 一 F : 1 : I F , 1 1 由于 C : 与 C : 一般不是法 截线 , 故 ( 3 . 6) 式并非 曲面艺: 、 艺 : 沿 二 : 方向的法 曲率 。 为了求 出法 曲率 , 需要讨 论 C , 与 C : 两种不 同 的接触 。 - ) 、 第一 种 接触 , C , 与 C : 的 凹 向一 致 , 在 P 点 的主法线 向量 v : 、 一 》 ~ ) 与 v : ( 或 v : ) 白龟多角为 e, 取 截面 x : = x 。的 单位法 向量 ” · 。 “ { ` , v : 重合 , 曲面 法向t n 0 , 0 } 。 若设 艺: 、 艺 2 沿 T : 方 向的法 曲率为 k 孟” 、 k 盆 2 ) , 诱 导 法曲率 为 K 蕊若孟 ’ = k 孟 , ’ 一 k 盖 ` ’ , 据 麦尼埃定理 , 可求得 二 r , , 、 _ ( F , , . F , , 一 F , , . F 。 , ) 2 I 、 孟: 污 ’ = 二二~ 一一 , , 二二 , - 月 一 二子一 . 二二二犷一` 二资` , = 己三一一 r , 一二二 -言甲 护 : : ( 护 x 士+ 护 ’ , 份+ 护 : 于) ’ · 乙 ( 卜 ’ 、 士+ 护 : 士) ( 3 . 7 ) 同理 , 对于 截面 y : = y 。 , 曲面 芝 , 、 芝 2 沿 T , 方 向 的诱导 法 曲率为 K 轰圣占 ’ = 竺 一一二里山里 F 二 ( F : 货+ F , l 一 F : 1 : F : 一 ) 名 苹护 : 资) ( F : 子+ F : 子) ( 3 . 8 ) . 争 由于 T : 与 : , 互相 垂直 , 根据 上面 得到的 综 合 曲率应 等于 这 两个方 向 和 , 则 曲面 芝: 、 艺 2 在 P 点的综 合 曲率K 吞圣 ` ’ ( 它 与 K 二是 “ ) 相 差一 负号 ) , 的诱 导法 曲率之 应 有 几J 二. 叼」 2 0 `、rn K 二圣 ` ’ 二 K 盆若孟 ) + K F : - F 21 r 一| . 一 F 一+ ZLr 凡肠vF… ù + 一么 2人 F ` z F 一+F 人Zt 人. .且. 件 !队一’Fx 即 K 台圣 ` ’ = F . : ( F : 子+ F 丫 飞+ F : 圣) ` / “ ( 3 . 9 ) 上式 是用 的稳函数偏导 数给 出的 综 合 曲率的 计 算式 , 只要 给 出母 面方 程 , 规 定了相 对运 动 的条件 , 即 已知 曲面族 F ( x : , y : , z : , t ) 二 o , 就可 通过 (3 . 9) 式算得 综合 曲率 。 第二种 接触 , C : 与 C : 的 凹向相 反 。 ~ 月卜 跟讨 论 第一种接触时一 样 , 曲面 艺 , 、 艺 : 沿 : : 方 向的诱 导法 曲率为 _二几二 _ : 卫 2止少 二 : 卫u r _ _ _ _ F : : ( F 、 子+ F , 子+ F : 资) ` / 2 ( F , 予+ F : 子) 2 ( F , : , , F Z子+ F : , : I F , 子一 Z F , ; : : F , : F : , ) ( F : 子+ F , 圣+ F : 子) ’ / “ ( F , 圣+ F : 资) ( 3 . 1 0 ) 1 27

将(1.6)、(1.7)代入(1.1)，並注意a与a1(i=1、2,j=1.2)的夹角，有 K。12=k1)-k:2)-(k1)-k1)8in2p+(k!2)-k22)in2(p-p) (1.8) (1.8)式是相对法曲的表达式，它是有向角P的函数。两相切仙面在切点P有无数个 相对祛曲。另外，(1.8)式亦可以由任意方向法曲率的欧拉公式推出。 2.相对主曲率 由丁两曲面在切点P的相对法曲面率有无限多个值，把其中的最大值和最小值称为在P 点的相对主曲率，分别用K2’、K:22’表示，相应的方向称为相对主方向。 为了求得相对主曲率和相对主方向，可令(K,)'。=0,解得 (k1'3-k51)8in2p-(ki2)-k22'in2(p-po)=0 (1.9) 满足(1.9)式的P就是相对主方向。 h于m=,与m=中+2满是(1.9)，因此，在P点的公切面t上有两个互相垂直的 正方向，一个方向上的相对法曲率达到最大偵，另一方向达到最小值。但是，相对主方向与 ·一个曲面的主方向一般是不承合的。 将(1.9)代入(1.8)，可得到两曲而在切.点P处相对主曲的计算式： K2=〔(k)+k)-(k2)+k2) 2 -、(k4’-k2)2-2(k-k2)(k2)-k2)C082p。+(k2-k22)7 (1.10) K52=2k+k经)-(k2+k2) +√(k)-k5)2-2(k1)-k)(k2)-k2)co82p,+(k:2)-k2) (1.11) 任意方向的相对法曲率(1.8)和相对主曲率之间有一重要关系：两曲而在切点P的任 意两个互相垂直的方向的相对法曲率之和等于两个相对丰曲半之和。 事实上，若设为任方向，跟它藤直的方向为甲+冬，相应的相对法曲率分别为 K2)、K22),由(1.8)式可得 K:2)+K22)=(k1)+k21)-(k2)+k223) (1.12) 再由(1.10)与(1.11)可得 K2+K022=(k)+k经1)-(k2+k2) 即 K62)+K22)=K2)+K622) 二、共轭曲面的诱导法曲率 若两曲面三：、三：在某一瞬时t沿一条空间曲线C:（接触线)相切，当规定了相对运动条 件，在一定的意义下三，可以看成曲面族{三：的包络面，三，也可以看成曲而族{三：}的包络 128

, 一》 - 争 将 ( 1 . 6 ) 、 ( 1 . 7 ) 代 入 ( 一 ,l ) , 业 注意 a 与 a ; ” ( i = 一 、 2 , j = 1 . 2 ) 的夹 角 , 有 K 二 ` 么 ’ = k 万 ` ’ 一 k 、 “ ’ 一 ( k ( ` ’ 一 k 互” ) ia n 里甲 + ( k 气 2 ’ 一 k 玉 艺 ) ) is n Z ( 甲 一 印 。 ) ( 1 . 8 ) ( 1 . 8) 式是 相对 法 曲率 的表达式 , 它 是有向角 甲 的 函 数 。 两相切 曲 面在 切点 P 有无数 个 相 对 法曲率 。 另外 , ( 1 . 8) 式亦 「: f 以 由任意 方 向法 曲率 的欧 拉公式推 出 。 2 . 相对主 曲率 由于 两曲面 在切 点 P 的相 对法 曲面 率有无限多个值 , 把 其 中的最 大值 和最 小值称 为在 P 点的相 对主 曲率 , 分别 用 K 二{ 2 ’ 、 K 二 2 2 ’ 表 示 , 相 应的方 向称 为相对 主方 向 。 为 了求得相 对 主曲率 和相 对主 方向 , 可令 ( K 。 ` 念 ’ )称 = o , 解得 ( k ; ` ’ 一 k 压” ) is n Z甲 一 ( k , 2 ’ ) 一 k 玉 名 ) ia n Z ( 印 一 印 。 ) = o ( 1 . 9 ) 满 足 l( . 9) 式 的 印就是相 对 主方向 。 ,h于 甲 = 印 1与甲 = 印 1 + 奇 一 满足 “ · ” , , 因此 , 在 ” 点的公切 而 “ 上 有两个互相垂直 的 主方 向 , 一个方 向上 的相对 法 曲率达 到 最大值 , 另 一方 向达 到最小值 。 但是 , 相对 主方 向与 一个 曲而 的主方 向一 般是不 索合的 。 将 ( 1 . 9) 代 入 ( t . 8) , 一 ,咐导到两 曲而 在切 点 P 处相 对主 曲率 的计算 式: K “ , ’ J = 通 一 〔` k ; ” + k “ ` ” 一 ` k气” + k “” , 一 、 / ( k } ` ’ 一 k Z ’ 犷江几 ( k }” 一 k : ` , ) ( k } ” 一 k 三” ) co , 2 甲。 + ( k ( ` ’ 一 k 玉” ) ’ ( 1 . 1 0 ) K 二 2 2 ’ = ; 〔` k ; ` ’ + k “ ” , 一 ` k : ” 十 k Z` ” + 亿 ( k : ” 一 k气” ) “ 一 2 ( k反” 一 k压 ` ’ ) ( k l ” 一 k三” ) e os Z印。 + ( k 气 2 ’ 一 k 呈” ) : ( 1 . 1 1 ) 任 意方 向 的相 对法 曲率 ( 1 . 8) 和 相对 主 曲率 之 间有一 垂要 关系 : 意两个 互相垂 直 的方 向的相 对法 曲率 之和 等于 两个 相对 主 曲率 之 和 。 两 曲而 在切点 P的任 事实上 , 若 设 印为任 一 方向 , 跟 它垂 直的方 向 为 甲 + 一吸 - 乙 相 应 的相 对 法 曲率 分 另lj为 K 爪{ , ’ 、 K 认主 生 ’ , 由 ( 1 . 8 ) 式 可得 K 二: 2 ’ + K 认玉 , ’ 二 ( k i ` ) + k Z ` ) 一 ( k 飞 2 ’ + k 玉 2 ’ ) ( 1 . 1 1) ’ .f 得 K 二) “ ` + K 导2圣 ` 二 ( k 反 ` ’ + k 玉 ` ’ ) 一 ( k ; 么 ’ + k 玉 2 ’ ) K 二{ 2 ’ + K 盖二 2 ) = K :’, { 2 ’ + K 毛 2 “ ) ( 1 . 1 2 ) 再由 l( . 10 ) 与 二 、 共 扼 曲 面 的诱导法 曲率 若 两曲面 艺: 、 艺 : 在某 一瞬 时 t沿一 条空间 曲线 C : (接触 线 ) 相 切 , 当规 定了相 对运 动条 件 , 在 一 定 的意义 下三: 可 以看成曲面族 { 万 ; ` }的包 络 而 , 芝 ; 也可 以 看成 曲而 族 { 艺 艺 ’ }的 包络 1 2 8

i,通常把这一对作相对运动的仙称：为共扼仙i、並1山把它的相对法常、相对主曲常 和相对主方向等，分别称为诱导法仙冷、诱导主曲滨和诱导向主方向。同时，为了简单起 见，所用记号相同。 显然，上面关于相对法曲率的讨论所得结果，在这见全部适用。但是，由于共轭曲而是 线接触，可得到一些新的结果。 1。诱导主方向与接触线方向的关系 设P为接触线C,上任-点，C,在P的方向为a,a与a的有向角为m,诱导主方向 与a)的夹角为P,由于 （)()片 d n 由(1.)可知K1)=0。若设 A=k)-k21) B=k52)-k52) 从(1.8)可得 c0(2*+a,)-k+k5)-(k:+k经) F7入2-2ABC082p,+B2 (2.1) 其中a。由下式决定 A-Bcos po coB a.=A2A BCos2+B (2.2) 再由(1.10)、(2.1、(2.2)得到 m2p-p-"2+ (2.3) 上式是共轭而在P点的诱导主方向单与在该点接触线方向伞◆的关系式。一般说来，这 两个方向是不重合的。但是，当曲面、三：相切时不产生干涉，一个曲而总在另一曲面的 一侧，除沿C,接触之外，其他地方並未接触（机械运动中的两曲面，大多数都满足此条 件)，在切点P的相对法曲率除沿α方向等于零外，其他方向皆同号。也就是说，两曲面 心、心2作TP点有唯一的相对渐近方向，「是抛物切点，接触线方向α是-一个诱导主方向，相 应的诱导主曲等于零。 2.任意方向的诱导法曲率 由于在P点的接触线方向a是一个诱导主方向，即单=P,代入(2.3)得 (k1)+k)-(k2)+k52)=√A2-2ABco82m。+B2 (2.4) 山上式解得 co82m。=1-A书· CD (2.5) 其中， C=kf1)-k2’,D=k21’-k22) 将(2.5)代入(1.8)，得到在切点P的任意方向且不含p。的诱导法曲率的计算式： 129

11 11 , 通 常J理这 一对作相 对运 动的 111一、 } 11称 为共扼 曲一1 . 1 、 立仑 _ 11 . 把它 们 ’l勺相 对法 11h `宁屯 、 相对 主 曲率 和相 对主 方 向等 , 分 别称 为 诱 导法 11臼率 、 诱导主 曲率 和 诱 导 向 主方 向 。 同 时 , 为了简单起 见 , 所 用记 号相同 。 显 然 , 上 而 关于 相 对法 曲率 的讨论 所得结 果 , 在这 爪 全部适用 。 但是 , 山于 共扼 曲而是 线接触 , 可得 到一些 新 的结果 。 t 诱 导主 方 向与续触故 方 向的 关 系 、 , , , 设 P为接 触线 C ! 上任 一 点 , C : 在 P 的方 向 为 “ , “ 与 “ 、 ” 的有向 角为印气 诱导 主方向 与 a 反 ` ’ 的夹角为 甲 。 , 由于 / 」 今 、 / 。 咔 、 l ` I n 、 _ 1 o n 、 、 一月又 一 产咔 一 、 \ u 口 / “ \ 一灭U 价 O I ,峥“ 由 ( 1 . 4 ) 可 知 K 认 ’ “ ’ 二 O 。 若 设 A = k l ` ’ 一 k 玉 ’ , B 二 k 反 : ’ 一 k 三 ’ ) 从 ( 1 . 8 ) 丁刁 ` 得 ( 卜 r Z ) + 卜二2 ) 、 一 ( 卜 〔 l ) + 卜二 二 ) 、 . 八. 了 丹 ~ 带 小 ~ 、 _ 立二二 二_ _ _ ~ 二二 ` ~ 一 二一一一立二 二 ~ 二 _ 一二 二` 一一二 ` 吃, O 气 乙 U 护 . 1盛 n , ~ / — .一 一孟一 — — 厂 ~ 石 — 一 — 几 ~ 一 不: 丫孟 一一 、 / A ` 一 Z A I , e o 吕 2印。 + Ij ` ( 2 . 1 ) 其 , 一 lI a 。 由下 式决 定 CO 8 a 。 = 一 /一 万一百 、 Z、 - A 一 B c o 召 甲。 一 Z A B co s Z印 。 + B Z 得到 ( 2 . 2 ) 再由 ( 1 . 1 0 ) 、 ( 2 . 1 、 ( 2 . 2 ) e o8 2( 印一 印 ) = k i ’ ) + k 三 ` ’ ) 一 ( k { 2 ’ + k 是 2 ) ) A Z 一 Z A B ose Z甲 。 + B Z ( 2 . 3 ) 一侧0 上式 是 共辘 曲 而在 P 点 的诱导 主方 向 甲与在 该 点接 触 线方 向 印. 的关系式 。 一般 说来 , 这 两个方 向是不 垂合 的 。 但是 , 当曲 面 万: 、 E : 相切 时不 产 生干涉 , 一个曲面总 在 另一 曲面的 一侧 , 除沿 C : 接 触之 外 , 其 他地 方 业 未接触 (机械运 动 中的 两曲面 , 大 多数 都满足 此条 件 ) , 在切 点 P 的相 对 法 曲率 除沿 a 方向 等于零 外 , 其他 方 向 皆同号 。 也就是说 , ~ 两 曲面 今 艺 、 、 三 2 在 P , .版有 唯一 的相 对渐 近方 向 , P 是抛 物 切点 , 接 触线 方 向 口 是一 个 诱导主方 向 , 相 应 的诱 导主 曲率 等于零 。 2 . 任 t 方 向的诱 . 法 曲率~ 争 由于在 P , .众的 接触线方向 a 是一 个诱 导主 方 向 , 即甲 二 甲. , 代入 ( 2 . 3) 得 ( k 叹 ` ’ + k 呈” ) 一 ( k 毛 2 ’ + k 玉 “ ’ ) = 训 A “ 一 Z A B os Z印。 + B Z ( 2 . 4 ) 「1 _ } 二式 解得 e o s Z 印 。 “ 1 一 C D A l; ( 2 . 5 ) 其 中 , C = k l ` ’ 一 k 1 2 ’ , D = k 生” 一 k 玉 “ ’ 将 (2 . 5 ) 代入 ( 1 . 8) , 得 到在切 点 P 的任意方向且不含甲。 的诱导法 曲率 的计 算式 : 1 2 9

对比（3.10)与(3.7)，看出第二种接触沿τ￥方向的诱导法曲率比第一种接触多了一 项，该项的分子出现了对变量y,与z1的二阶偏导数，如果母面是平面，则该项为零，剩下 的与(3.7)式仅差一负号。它说明，母面是平面的共轭曲面的综合曲率，其正负号反映了两 种不同的接触。 对于第二种接触的综合曲率的具体表示式，仿照第一种接触的讨论可以得到，这里从 略。 3.二次包络的综合曲率 上面的(3.9)式是一次包络的综合曲率计算式。在机械加工中，往往要把一次包络形 成的包络面，即（3,5)式再以参数0运动，形成曲面族去包络出另一曲面，此曲面族的包络 面与族中任一曲面也是一对共轭曲面，也需要求出它们的综合曲率，通常称为二次包络的综 合曲率。 二次包络的过程相当于(3.5)式再转回S:坐标系，运动参数为0（并把t改为仰），得到 在S,坐标系中以包络面为母面的曲面族，据微分几何的包络理论，可推得此曲面族的包络 由下面的隐函数组来表示，其中第三式是包络条件，相当于(3.5)的第二式： F(x2,y2,22,p,0)=0 Fm(x2,y2,z2,p,0)=0 (3.11) Fg(x2,y2,z2,p,0)=0 如果上式满足隐函数存在条件（主要是雅可比行列式异于零），则必唯一地决定在所考 虑点邻域的一空间曲面，且是简单曲面块。 从(311)的第二式解出p=p(x2,y2,22,0)代入一、三两式，得包络面方程 F(x2,y2,z2,p(x2,y2,z2,0),0)=0 (3.12) {F,(x,y2,22,p(x2,y22,0)0）=0 和一恒等式 Fp(x2,y2,z2,m(x2,yz,z2,0),0)=0 (3.13) 由(3.12)、(3.13)求出各阶偏导数，代入，(3.9)，可得到用隐函数各阶偏导数表示的 第一种接触的综合曲率表达式： Fx2 Fy22 Fy2 F22 /2 B C (3.14) K=D(F+F F子+F,泾 F,子+F: 其中， Fx20 A= F。 B= FF。 F:20 F:20 C= ，D= 另外，如果母面是平面，无论一次包络或二次包络，因共轭曲面的方程较简单，可以用 (3.4)式直接计算其基本量而得到综合曲率的具体表示式（详见〔6）和〔7)的第75页至77 页)。 130

对比 (3 . 10 ) 与 (3 . 7) , 看 出第二种接触沿 育 : 方 向的诱导 法 曲率 比第一 种接 触多了一 项 , 该项的分子出现了对变 量 y : 与 z : 的二 阶偏导数 , 如 果母面是平面 , 则该 项为零 , 刹下 的 与 (3 . 7) 式仅差 一 负号 。 它说 明 , 母面是平面 的共垅曲面 的综合 曲率 , 其正 负号反映了两 种不同的接触 。 对于 第二种 接触的综 合 曲率 的具体表示 式 , 仿照 第一种 接 触的讨 论 可 以得 到 , 这里 从 略 。 搜 . 二次包 络 的缭合曲率 上面的 (3 . 9) 式是一次包 络的 综合 曲率计算式 。 在机械加 工中 , 往在要把 一次 包络形 成 的包络 面 , 即 (3 . 5) 式再以 参数 e 运 动 , 形成 曲 面族去包 络出 另一 曲面 , 此 曲面族 的包络 面 与族中任 一曲面 也是一 对共辘 曲面 , 也需要 求出它们的综 合 曲率 , 通 常称为二次包 络的综 合 曲率 。 二次包络 的过程相当于 (3 . 5) 式 再转回 S : 坐标系 , 运动参数为e ( 并把 t 改为甲 ) , 得 到 在 S : 坐标系中以 包络 面为母面 的 曲面族 , 据微 分几 何的 包络理论 , 可推得此 曲面族 的包 络 由 下面的 隐函数组来表示 , 其 中第三 式是包 络条件 , 相 当于 ( 3 . 5) 的第二 式: 一 F ( x : , y : , z : , 甲 , 0 ) = 0 F , ( x : , y : , z : , 甲 , 0 ) = o F e ( x : , y : , 2 2 , 甲 , G) = 0 ( 3 . 1 1 ) 如果上 式满 足 隐函数存在 条件 ( 主要 是雅可比行列 式异 于零) , 则 必唯 一地 决定 在所考 虑点邻域 的一空 间曲面 , 且是简单 曲面块 。 从 (3 . n ) 的第二式解出甲 = 甲 ( x : , y Z , z : , 0) 代入一 、 三 两 式 , 得包络 面方程 F ( x : , y Z , 2 2 , 甲 ( x : , y : , z : , 0 ) , 0 ) = 0 F a ( x : , y : , z a , 甲 ( x : , y Z , z : , 0 ) 8 ) = 0 ( 3 . 1 2 ) 和 一恒等式 F 甲 ( x : , y : , z : , 甲( x : , y : , z : , B) , 8 ) 二 0 ( 3 . 1 3 ) 由 ( 3 . 1 2 ) 、 ( 3 . 1 3) 求出各阶偏导 数 , 代 入 , ( 3 . 9) , 可得 到用 隐函数各阶 偏导数表示的 第一种接触的综合 曲率表达 式 : K 二圣 ` ’ 二 D ( F : 圣+ F , 盆+ F : 至户再 { F 一 F 一 } ` } A C } _ 一 一 , . F : 圣+ F : 圣 { ” 一 F 一 } ’ _ } n 户 ! 】 ( 3 . 1 4 ) 卫一一卫一二匕 匕 卜 F , 蛋+ F : 圣 ! 其 中 , C 二 F : : e F : : , F e , F , , F : : e F Z : , F e , F , , B 二 D 二 F , : e F v Z , F e , F , , F e e F , , F e , F , , 另外 , 如果母面是平 面 , 无论一 次包络 或 二次包络 , 因共辘 曲面 的方程 枝简单 , 可 以 用 (3 . 4) 式直 接计 算其 基 本量而得到综 合 曲率的 具体表 示式 ( 详见 〔6〕和 〔7 ) 的 第 75 页至 7 页 ) 。 13 Q

参“考文献 〔1)威德哈伯，锥齿轮及准双曲线齿轮传动啮合原理，张志僖译，中国工业出版社， 1958. 〔2)李特文，齿轮啮合原理，丁淳译，1960 〔3)酒井高雄、牧实，交错轴齿轮传动中第二次作用的研究，机械工业出版社，1977. 〔4)南开大学数学系，微分几何与齿轮啮合理论，1976 〔5)陈志新，共轭曲面原理（上册)，科学出版社，1974. 〔6)北京钢铁学院，包络法和啮合原理（内部发行），1978 〔7)北京钢铁学院学报第一期1979. 〔8)吴大任，微分几何。 〔9〕方德植，微分几何。 131

参 、 考 文 献 威德哈伯 , 锥齿 轮及准双 曲线 齿 轮传动啮 合原理 , 张志 悠译 , 中国 工 业出 版社 , 1 9 5 8 . 李特 文 , 齿轮啮 合原理 , 丁 淳译 , 1 9 6 0 . 酒 井高雄 、 牧实 , 交错 轴齿 轮传动 中第二次作用的研究 , 机 械工业 出版 社 , 南开大学 数学系 , 微 分几何 与齿轮啮 合理论 , 1 9 76 陈志新 , 共辘曲面原理 ( 上册 ) , 科学出版社 , 1 9 7 4 . 北京钢铁学院 , 包 络 法和 啮合 原理 ( 内部发行 ) , ’ 19 7 8 . 北京钢 铁学院学报第一 期 1 9 79 . 吴大任 , 微分 几何 。 方德植 , 微分 几何 。 1 9 7 7 王3 1 、 J ù、、护沪户夕书2胜,J. 产e `夕、 . J . 上口吸1,UA 氏几占月了OR ù甘O r . 、产`沪气沙.`、 IJ se 产、、子沪.