D(cp)oz-vABcp-ctp 2 sin2 A (2.6) 这里的A卡0，B+0,即能根据(2.5)式定出p。若A=0,B+0,即k1)=k1) =k1),a与a2的夹角为9，据欧拉公式，任意方向的诱导法曲率为 Kg12)=k‘1)-kf21+(kf2)-k52)in20 若A牛0，B=0,即k2)=k52)=k2),有 K612)=kf1)-k(2)-(k1)-k;1)in2p 三、综合曲率 从上面的讨论可知，共轭曲面沿接触线方向的诱导主曲率等于零(K&})=0)，则与 接触线垂直方向为另一诱导主方向，相应的诱导主曲率达到最大值（对K。的绝对值来说）， 我们把这个诱导主曲率称为综合曲率。 两曲面在切点P的综合曲率，与在该点的诱导主曲率和任意方向的诱导法曲率有着密切 的联系，有一重要结论： 共轭曲面的综合曲率等于任意两个互相垂直方向的诱导法曲率之和，也等于两个诱导主 也带带非章。垂垂垂 曲率之和。 事实上，将(2.4)式代入(1.11)，得到 K})=(k1)+k1)-(k12)+k2) (3.1) 再与(1.12)、(1.13)对比，可得此结论。 工程上用得最多的是综合曲率半径（即综合曲率绝对值的倒数），因此，我们要讨论综 合曲率的几种表示。 1,用两类基本量表示的综合曲率 对于曲面Σ1，设它的第一与第二基本量分别为E1、G1、F1,L1、M1、N。据微分几 何，：在点P的主曲率k1’、k分别是方程 (E1G:-F,2)k2-(E,N:-2F,-M,+GL1)k +(LN,-M:)=0 的两个根。由根与系数的关系有 k11,+ks1=E:N:-2FM+G:L (3.2) EG-F2 对于曲面Σ2，设它的两类基本量分别为E2、F2、G2,L2、M2、N2,同样有 kf)+ks:)=E:N:-2F:M:+G:L: E2G2-F22 (3.3) 将(3.2)、(3.3)代入(3.1)，有 K-EN:-2F:M+G:LL-E:N:-2F:M:+G:L: E,G1-F,2 (3.4) E2G2-F22 上式就是用曲面Σ1、Σ2的两类基本量表示的在切点P的综合曲率的计算式。 126盆K ’ 名 ’ = C + D . / 一A B . C、 D _ _ 一蕊— 甲 (一 ~ . 一 十 一飞 , 一 】C O吕 艺甲 一 乙 \ 乙 八 / 、 / A B C D 一 C 笼 D Z A 苗n Z甲 ( 2 . 6 ) 选里 的 A -卜 = k “ , , a 与 B 斗 o , 即能 根据 ( 2 . 5 ) 式定 出 甲 。 。 若 A = o , B 今 0 , 即 k 呀 ` ’ = k 三” 的夹角 为O , 据 欧拉公式 , 任意方 向的诱 导 法 曲率 为 若 A 今 O , B = 0 , K , : ’ = k ` ” 一 k i : ’ + ( k ; 2 ’ 一 k 呈 : , ) 颐n 2 0 即 k 互 : ’ = k 玉 : ’ = k ` : ’ , 有 , ” = k 飞 ’ ) 一 k ( 2 ’ 一 ( k 王 ` ’ 一 k 玉 ’ ) ) ia n : 甲 科t叮韧 三 、 综合 曲率 从上 面的讨论可 知 , 共耗曲面 沿接触线 方向的诱导 主 曲率 等于零 ( K 吞孟 , 、 = 0) , 则与 接触线 垂直 方向为另一诱 导 主方 向 , 相 应 的诱导 主 曲率达 到最 大值 ( 对 K 二孟 名 ’ 的绝对值 来说 ) , 我们 把这个诱 导 主 曲率称 为综 合 曲率 。 两 曲面 在切 点 P 的综 合 曲率 , 与在 该点的诱 导主 曲率和 任意 方 向的诱导 法曲率 有着密切 的联系 , 有一重 要结论 : 共扼曲面 的综 合曲率 等于 任意两个互 相垂 直方 向的诱 导 法 曲率 之 和 , 也等于 两个诱 导 主 曲社’fo ` ” ” · · · · · · · · · · . . . . . . … … …事实上 , 将 (2 . 4) 式 代 入 K 另 , ) = ( 1 . 1 1 ) , 得到 ( k i ` 》 + k 玉 ` ’ ) 一 ( k 飞 2 ’ + k 玉 : ’ ) ( 3 . 1 ) 再与 ( 1 . 2 2 ) 、 ( 1 . 1 5 ) 对比 , 可得此 结论 。 工程 上 用得最 多的是综合 曲率半径 ( 即综合 曲率 绝对值 的倒数 ) , 合 曲率的几 种表示 。 1 . 用 两 类签本 . 衰示 的综合 曲率 对于 曲面艺: , 设 它的 第一与 第二 基 本量分 别为 E : 、 G , 、 F , , L : 、 何 , 艺: 在点 P 的主 曲率 k 气” 、 k 三 ` ’ 分 别是 方 程 ( E I G z 一 F : 2 ) k Z 一 ( E I N ; 一 ? F , 一 M : + G , L l ) k + ( L I N : 一 M : 2 ) = 0 的 两个根 。 由根 与系数的关系有 因此 , 我们 要讨论综 M : 、 N : 。 据微 分几 k 盆” + k 三 ’ ) = E , N 一 Z F , M E I G I 一 岩 + G I L : ( 3 . 2 ) 对于 曲面艺 : , 设 它 的两 类基 本量 分别 为E : 、 F Z 、 G Z , L : 、 M : 、 N : , 同样有 k 盖 2 ) + k 压 : ) = E : N z 一 Z F Z M : + G : L E : G : 一 F : 2 有 ( 3 . 3) 将 ( 3 . 2 ) 、 ( 3 . 3 ) 代入 ( 3 . 1 ) K 二主 : ) = E : N : 一 Z F : M : + G , L , 上式就是 用 曲面 艺: 、 E 一 G l 一 F I 么 E Z G : 一 F : 1 艺 2 的 两类 基本量 表示 的在 切点 P 的综合 曲率的计算式 。 ( 3 . 4 ) 1 2 6