例221计算积分/e-J)dr,ea>0 解代入 Bessel函数的级数表示,并逐项积分 (k)2(2 -ar 26 dr k=0 3 k! 2(a k=0 这种做法的难点是级数求和,求和时还往往要有一定的限制条件.例如在上面求和时就要求|/a< 1.但就本题而言,容易证明,原来的积分在Rea>0的任意闭区域中一致收敛,因而在Rea>0 的任意区域内解析;而积分出的结果也在同一区域内解析.根据解析延拓的原理,就可以去掉这 个限制条件Wu Chong-shi ➠➡➢➡➤ ➥ r s (➦) ✉ 3 ✈ ➧ 22.1 ➎➏➓➔ Z ∞ 0 e −axJ0(bx)dx, Re a > 0. ➨ ➩➫ Bessel ❻❘❚❺ ❘❧➭✖❡➯♣➓➔✫ Z ∞ 0 e −axJ0(bx)dx = Z ∞ 0 e −axX∞ k=0 (−) k (k!)2  bx 2 2k dx = X∞ k=0 (−) k (k!)2  b 2 2k Z ∞ 0 e −axx 2kdx = X∞ k=0 (−) k (k!)2  b 2 2k (2k)! a 2k+1 = 1 a X∞ k=0 1 k!  − 1 2  − 3 2  − 5 2  · · ·  − 2k − 1 2   b a 2k = 1 a " 1 +  b a 2 #−1/2 = 1 √ a 2 + b 2 . ❪➲➳➵❚➸❉❍❺ ❘➺❋✖➺❋❙➍➻➻➼❅❴❤ ❚q➽➾➚✫➆ ❩▲➪➶➺❋❙➹➼➺ |b/a| < 1 ✫➘ ➹❽➴➷➬✖➮➱✃ ❐✖ ❒❮❚➓➔▲ Re a > 0 ❚❰ÏÐÑÒ ♦❴ÓÔÕ✖Ö ➷ ▲ Re a > 0 ❚❰ÏÑÒ ×❨Ø●➷➓➔②❚Ù❬Ú▲Û❴ÑÒ ×❨Ø✫ÜÝ❨ØÞß❚❒à✖➹❜➀❥❦❪ ❇q➽➾➚✫