F(m-1,n-1) 这些统计量在一元统计中起着非常重要的作用。多元统计中 所用的统计量是由它们发展而来的。在多元情形,上述统计量中的 X2,,a,都是向量形式,其导出的统计量a、tX2也都是向量形式, 因此需化成数量才能利用。改写上面的统计量可得到启发 n(X (X-a)=n(X-a)o(X-a L2=n(X-a)S-2(X-a)=n(X-a)'s(X-a 这时u2~x2(1),2~F(1,n-1),与·元统计中方差a2、样本方差 S2相当的多元统计中的量为总体协差阵Σ与样本协差阵S。由此 可想到,相应统计量为 X-a)∑-1(X-a) n(x-a)'S(X-a) 其中K、a都是p维向量,下面讨论这两个统计量的分布 马氏距离 设p元总体X=(x1,…;x)的均值为μ,协差阵为E>0 D2=(Xu)Σ1(X-) (].4 D称为样本点X到均值(中心)的 Mahalanobis距离,简称马氏 距离,记为D(X,)。 丙x>0,存在A>0,及Σ=AA,∑=A,Σ2=A-,A=A 设 Y=A(X-H D=(X-)∑-(X-)=〔A-(X-)(A-(X-u) YY=△y2 从最后等式看出,马氏距离相当于y坐标下的欧氏距离。因此,马 氏距离满足距离的三条公理,即对任意三样品X、y、Z, ①D(X,Y)≥0,只有X=Y时等号成立 ②对称性,D(X,)=D(Y,X) ③三角不等式 19