790 工程科学学报，第42卷，第6期 900 数关系的假设，例如回归方法中函数表达式的结 800 Cluster-1 700 Cluster-2 构，神经网络中节点数与激活函数的设置等.支持 600 Cluster-3 500 Cluster-4 辊寿命预测问题中数据高维、不确定性等特点使 400 Cluster-5 ·Cluster-6 得算法难以找到合适的函数关系，加之支持辊服 -Cluster-7 200 Cluster-8 役周期较长，难以获得大量的运行-失效数据，为 100 Cluster-9 支持辊健康状态的准确预测带来了困难.将Copula 200 250 300 350 400 函数的性质运用于数据预测中，可以建立数据集 Deformation resistance/MPa 在不同时刻间的分布关系，消除了剩余使用寿命 图2K-means聚类结果示意图 与表征信号之间函数关系的假设，建立一个通用 Fig.2 K-means clustering results 的统计关系取而代之，同时统计模型可以按照分 1.0 .9 布规律产生大量数据样本，使得预测算法只由可 鲁8 用的训练数据集驱动 0 2.1 Copula函数在数据预测中的应用 . Copula函数描述变量间的相关性，其理论核 0.3 0.2 心为Sklar定理，可以表述为闯F(x1,x2,,xn)= 0.1 C(F1(x),F2(2,,Fn(xn),其中F1(x1),F2(x2,, 4000 8000 12000 16000 Number of rolled strips Fmn(xn)为分散的n个边缘分布函数，使用某一类型 图3原始数据统一聚类后1数据-工况1效果图 的Copula函数C(1,2,,n)连接形成他们的联合 Fig.3 Working condition I of 1*data after clustering 分布函数F(x1,x2,,xn).若将某变量不同时刻数值 支持辊的VHⅢ应是单调递增的，虽然对F7机架 的分布看作边缘分布，通过Copula函数的连接则 的VHⅢ数据进行了工况剥离处理，但仍存在较大的 可以研究某变量在时间序列上不同时刻间的联系 数据波动，因此需要对各工况的VHⅢ数据进行降噪 与变化关系，利用这一特性即可将Copula函数运 用到数据预测中，此外，由于Copula函数是以概 和单调处理，使其满足支持辊健康状态单调的物理 率分布的形式描述边缘分布之间的关系，只要能 意义，以便顺利进行算法后续步骤.实际情况下支 够求得预测数据的分布情况即可使用Copula预测 持辊的磨损情况会随轧制计划的推进逐渐劣化， 方法完成预测，可见基于Copula函数的预测方法 支持辊磨损的累积以及磨损不均使其健康状态的 可以满足对于预测结果的概率分布输出要求，且 衰减速率逐渐增加，因此选用指数函数y=ker的 对数据集体量的需求较小，比较适合用于少样本 形式对VHI数据进行拟合，得到的单工况理想化 下的寿命预测 训练集VHⅢ曲线如图4所示（以工况1为例） 2.2使用Copula函数进行预测的建模步骤 1.0 基于Copula函数的健康状态预测需要在已知 0.9 0.8 某时刻真实健康状态分布的情况下来确定之后可 0.7 能达到失效状态的时间点.在支持辊健康状态预 测的研究中，需要将VH指数离散成一定数量的 304 退化等级，之后建立某一等级T与最终失效等级 Data 1 50.3 ---Data 2 Temd支持辊健康状态之间的相关关系.其建模过程 02 Data3* Data 4* 如图5所示，具体实施步骤在下一章以实例形式 0.1 -Data 5* 给出 0 0 4000 8000 120001600020000 Number of rolled strips 3单工况Copula模型的建立过程 图4工况1支持辊VHⅢ数据拟合降噪后结果示意图 Fig.4 Result of noise reduction after fitting VHI data of working 3.1VHⅢ曲线的离散化处理 condition 1 一个测试单元的支持辊VH会在不同时刻表 现出不同的健康状态，在已知工况数据下按一定 基于Copula函数的数据建模方法 间隔确定若干时刻，划分为退化等级T,其中的范 大多数据驱动的预测方法均需要基于某些函 围从1到j,为模型划分的退化等级数量，即可描y = ke ax 支持辊的 VHI 应是单调递增的，虽然对 F7 机架 的 VHI 数据进行了工况剥离处理，但仍存在较大的 数据波动，因此需要对各工况的 VHI 数据进行降噪 和单调处理，使其满足支持辊健康状态单调的物理 意义，以便顺利进行算法后续步骤. 实际情况下支 持辊的磨损情况会随轧制计划的推进逐渐劣化， 支持辊磨损的累积以及磨损不均使其健康状态的 衰减速率逐渐增加，因此选用指数函数 的 形式对 VHI 数据进行拟合，得到的单工况理想化 训练集 VHI 曲线如图 4 所示（以工况 1 为例）. 2    基于 Copula 函数的数据建模方法 大多数据驱动的预测方法均需要基于某些函 数关系的假设，例如回归方法中函数表达式的结 构，神经网络中节点数与激活函数的设置等. 支持 辊寿命预测问题中数据高维、不确定性等特点使 得算法难以找到合适的函数关系，加之支持辊服 役周期较长，难以获得大量的运行−失效数据，为 支持辊健康状态的准确预测带来了困难. 将 Copula 函数的性质运用于数据预测中，可以建立数据集 在不同时刻间的分布关系，消除了剩余使用寿命 与表征信号之间函数关系的假设，建立一个通用 的统计关系取而代之，同时统计模型可以按照分 布规律产生大量数据样本，使得预测算法只由可 用的训练数据集驱动. 2.1    Copula 函数在数据预测中的应用 F(x1, x2,..., xn) = C(F1(x1),F2(x2),...,Fn(xn)) F1(x1),F2(x2),..., Fn(xn) C(u1,u2,...,un) F(x1, x2,..., xn) Copula 函数描述变量间的相关性，其理论核 心 为 Sklar 定理 ，可以表述为 [25] ： ， 其 中 为分散的 n 个边缘分布函数，使用某一类型 的 Copula 函数 连接形成他们的联合 分布函数 . 若将某变量不同时刻数值 的分布看作边缘分布，通过 Copula 函数的连接则 可以研究某变量在时间序列上不同时刻间的联系 与变化关系，利用这一特性即可将 Copula 函数运 用到数据预测中. 此外，由于 Copula 函数是以概 率分布的形式描述边缘分布之间的关系，只要能 够求得预测数据的分布情况即可使用 Copula 预测 方法完成预测，可见基于 Copula 函数的预测方法 可以满足对于预测结果的概率分布输出要求，且 对数据集体量的需求较小，比较适合用于少样本 下的寿命预测. 2.2    使用 Copula 函数进行预测的建模步骤 Tn Tend 基于 Copula 函数的健康状态预测需要在已知 某时刻真实健康状态分布的情况下来确定之后可 能达到失效状态的时间点. 在支持辊健康状态预 测的研究中，需要将 VHI 指数离散成一定数量的 退化等级，之后建立某一等级 与最终失效等级 支持辊健康状态之间的相关关系. 其建模过程 如图 5 所示，具体实施步骤在下一章以实例形式 给出. 3    单工况 Copula 模型的建立过程 3.1    VHI 曲线的离散化处理 Ti i j j 一个测试单元的支持辊 VHI 会在不同时刻表 现出不同的健康状态，在已知工况数据下按一定 间隔确定若干时刻，划分为退化等级 ，其中 的范 围从 1 到 ， 为模型划分的退化等级数量，即可描 900 800 700 600 500 400 Ratio of width to thickness 300 200 100 150 200 250 300 Deformation resistance/MPa 350 400 0 Cluster-1 Cluster-2 Cluster-3 Cluster-4 Cluster-5 Cluster-6 Cluster-7 Cluster-8 Cluster-9 图 2    K-means 聚类结果示意图 Fig.2    K-means clustering results 1.0 4000 8000 Number of rolled strips 12000 16000 0.9 0.8 0.7 0.6 Virtual health index 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 图 3    原始数据统一聚类后 1 #数据−工况 1 效果图 Fig.3    Working condition 1 of 1# data after clustering 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 Virtual heath index 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 4000 8000 12000 Number of rolled strips 16000 Data 1# Data 2# Data 3# Data 4# Data 5# 20000 图 4    工况 1 支持辊 VHI 数据拟合降噪后结果示意图 Fig.4     Result  of  noise  reduction  after  fitting  VHI  data  of  working condition 1 · 790 · 工程科学学报，第 42 卷，第 6 期