李天伦等：基于Copula函数的热轧支持辊健康状态预测模型 791· Discretize VHI Determine the Input the test set Calculate VHI curve into distribution form data into the of each curve from multiple sets of model and get degradation level degradation level prediction results data as establish copula at the prediction sets correlation corresponding models degradation level 图5使用Copula函数预测支持辊健康状态的建模流程图 Fig.5 Flow chart for predicting the health of back-up roll using Copula function 述支持辊在不同时刻下VH的分布情况.本研究 Clayton3种常见类型中选择确定各个Tm-Tso数据 将各工况测试数据集中VHⅢ的最小值作为建模起 模型匹配的Copula函数类型 点，以支持辊失效标志即VHⅢ值达到1时作为建 对于本文案例使用的数据，需要将某一时刻 模终点，在建模区间内等距划分50个健康状态退 Tn与失效等级Tso间的支持辊轧制块数进行Copula 化等级，每个退化等级T分别与失效退化等级 建模，认为各失效等级下的数据均符合正态分布， Tso建立联合分布模型，得到50组不同类型Copula 考虑联合分布函数C和各变量边缘分布F都是连 函数构成的T:-Ts0数据模型，每个模型中均包含 续的情形，其似然函数可以写作： 4组训练集数据及按Copula函数分布得到的补充 数据，退化等级的划分示意图如图6所示.其中 L(⑥0=C(Fn(xn,Fso(xso》 Fn(xn:0) (5) 左侧表示数据集VHI值分别到达退化等级T, T50时的轧制块数值，到达T的轧制块数记为 将某时刻支持辊达到轧制块数的概率分布 t-l,t-2,t-3,-4,到达Ts0的轧制块数记为ts0-l, 与最终时刻支持辊达到轧制块数的概率分布v带 t50-2,50-3,t50-4,纵坐标均为退化等级对应的VHⅢ值， 入到3种不同Copula函数的概率密度函数中，利 右侧四个圆圈为训练集数据点，大面积实点为由 用极大似然方法分别求得每种Copula函数对应的 Copula模型计算扩充而来的训练数据集；横坐标 最大似然估计值Gumbel、rank、Clayton,之后得以选 为数据点在T等级时已经轧制的块数值，纵坐标为 出三者中最优的Copula类型用作当前时刻的退化 其在T5o等级时轧制达到的块数值 等级建模.图7为3种不同类型函数扩充得到的 3.2最佳Copula函数类型的确定 Copula模型典型样本，可见扩充数据的分布形式 在利用Copula理论对多元分布函数进行建模 (头部发散、两端发散、尾部发散)差别明显，随退 时，不同类型的Copula函数有着各自的适用范围， 化等级的推进数据分布逐渐收敛，说明使用极大 一般可以通过联合分布数据集与各类Copula函数 似然估计确定最优Copula类型的方法是可行的. 的分布形式对比来匹配合适的参数，但对于数据 33提高模型适应性的平移处理 量稀少的情况，无法通过观察得到准确的联合分 由于退化等级的划分层数有限，加之训练集 布形式，使用极大似然估计方法在Gumbel、.Frank、 数据量不足，某些退化等级对应的Copula相关性 Degradation level Tso 0,T,Lw-nTs,m-Ts人wnT） Data Degradation level T (L Th (s Th (tz Th (LT Copula model Number of rolled strips Degradation level,T 图6对单工况训练集数据划分退化等级示意图 Fig.6 Data degradation level for single-working-condition training setTi T50 Ti −T50 Ti T50 Ti ti−1,ti−2,ti−3,ti−4 T50 t50−1, t50−2,t50−3,t50−4 Ti T50 述支持辊在不同时刻下 VHI 的分布情况. 本研究 将各工况测试数据集中 VHI 的最小值作为建模起 点，以支持辊失效标志即 VHI 值达到 1 时作为建 模终点，在建模区间内等距划分 50 个健康状态退 化等级 ，每个退化等级 分别与失效退化等级 建立联合分布模型，得到 50 组不同类型 Copula 函数构成的 数据模型，每个模型中均包含 4 组训练集数据及按 Copula 函数分布得到的补充 数据，退化等级的划分示意图如图 6 所示. 其中 左侧表示数据 集 VHI 值分别到达退化等级 ， 时 的 轧 制 块 数 值 ， 到 达 的 轧 制 块 数 记 为 ， 到 达 的 轧 制 块 数 记 为 ，纵坐标均为退化等级对应的 VHI 值， 右侧四个圆圈为训练集数据点，大面积实点为由 Copula 模型计算扩充而来的训练数据集；横坐标 为数据点在 等级时已经轧制的块数值，纵坐标为 其在 等级时轧制达到的块数值. 3.2    最佳 Copula 函数类型的确定 在利用 Copula 理论对多元分布函数进行建模 时，不同类型的 Copula 函数有着各自的适用范围， 一般可以通过联合分布数据集与各类 Copula 函数 的分布形式对比来匹配合适的参数. 但对于数据 量稀少的情况，无法通过观察得到准确的联合分 布形式，使用极大似然估计方法在 Gumbel、Frank、 Clayton 3 种常见类型中选择确定各个 Tn −T50 数据 模型匹配的 Copula 函数类型. Tn T50 C Fn 对于本文案例使用的数据，需要将某一时刻 与失效等级 间的支持辊轧制块数进行 Copula 建模，认为各失效等级下的数据均符合正态分布， 考虑联合分布函数 和各变量边缘分布 都是连 续的情形，其似然函数可以写作： L(θ) = C(Fn(xn),F50(x50))∏ 50 n Fn(xn; θ) （5） u v θˆGumbel θˆ Frank θˆClayton 将某时刻支持辊达到轧制块数的概率分布 与最终时刻支持辊达到轧制块数的概率分布 带 入到 3 种不同 Copula 函数的概率密度函数中，利 用极大似然方法分别求得每种 Copula 函数对应的 最大似然估计值 、 、 ，之后得以选 出三者中最优的 Copula 类型用作当前时刻的退化 等级建模. 图 7 为 3 种不同类型函数扩充得到的 Copula 模型典型样本，可见扩充数据的分布形式 （头部发散、两端发散、尾部发散）差别明显，随退 化等级的推进数据分布逐渐收敛，说明使用极大 似然估计确定最优 Copula 类型的方法是可行的. 3.3    提高模型适应性的平移处理 由于退化等级的划分层数有限，加之训练集 数据量不足，某些退化等级对应的 Copula 相关性 Calculate VHI curve from system operation to failure time Discretize VHI curve into multiple sets of degradation level data as prediction sets Determine the distribution form of each degradation level, establish copula correlation models Input the test set data into the model and get prediction results at the corresponding degradation level 图 5    使用 Copula 函数预测支持辊健康状态的建模流程图 Fig.5    Flow chart for predicting the health of back-up roll using Copula function Degradation level T50 (t50−1, T50), (t50−2, T50), (t50−3, T50), (t50−4, T50) Degradation level Ti (ti−1, Ti), (ti−2, Ti), (ti−3, Ti), (ti−4, Ti) Virtual health index Number of rolled strips t50−4 ti−4 Data sets Copula model Degradation level, T50 Degradation level, Ti 图 6    对单工况训练集数据划分退化等级示意图 Fig.6    Data degradation level for single-working-condition training set 李天伦等： 基于 Copula 函数的热轧支持辊健康状态预测模型 · 791 ·