第五章数学概念、命题与问题解决教学 §5.1数学概念及其教学 一、数学概念Mathematical Concept)的意义和结构 概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式一判断、推理一是有密切联 系的。人们必须先具有关于某事物的概念。然后才能作出关于某事物的判断、推 理。概念是判断推理的基础。另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识， 又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。科学史表明：“科 学是与概念并肩成长起来的”。 概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的 理解和掌握。 1、数学概念的意义 [引题] 师问：“等式(x+1)2=x2+2x+1是不是方程？” 生答：“不是。”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论x取什么数 等式都成立，可以这个等式不是方程。” 师问：“什么叫方程？” 生答：“含有未知数的等式叫做方程。” 师问：“等式(x+1)2=x2+2x+1含有未知数吗？” 生答：“含有未知数x,这是方程。原来我认为含有未知数的恒等式不是方 程，这是不对的。” 师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根？” 生答：“有无穷多解。” 师问：“对。有的方程有有限个解，例如：x+1=0只有一个解：有的方程无 解，例如：x2+1=0在实数范围内无解：有的方程有无穷多解，方程 (x+)2=x2+2x+1就是一例。” 一一以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。 什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起。 1 1 第五章 数学概念、命题与问题解决教学 §5.1 数学概念及其教学 一、数学概念(Mathematical Concept)的意义和结构 概念是最基本的思维形式的一种，它与其他形式—判断、推理—是有密切联 系的。人们必须先具有关于某事物的概念。然后才能作出关于某事物的判断、推 理。概念是判断推理的基础。另一方面，人们通过判断、推理所获得的新认识， 又要形成新的较深刻的概念，所以概念又是判断、推理的结晶。科学史表明：“科 学是与概念并肩成长起来的”。 概念具有如此重要的作用，我们在学习和数学过程中必须十分重视对概念的 理解和掌握。 1、数学概念的意义 [引题] 师问：“等式 ( 1) 2 1 2 2 x + = x + x + 是不是方程？” 生答：“不是。”“为什么？”“因为这个等式是个恒等式，不论 x 取什么数， 等式都成立，可以这个等式不是方程。” 师问：“什么叫方程？” 生答：“含有未知数的等式叫做方程。” 师问：“等式 ( 1) 2 1 2 2 x + = x + x + 含有未知数吗？” 生答：“含有未知数 x，这是方程。原来我认为含有未知数的恒等式不是方 程，这是不对的。” 师问：“既然这个等式是方程，那么，这个方程有多少根?” 生答：“有无穷多解。” 师问：“对。有的方程有有限个解，例如：x +1=0 只有一个解；有的方程无 解，例如 : 1 0 2 x + = 在实数范围内无解；有的方程有无穷多解，方程 ( 1) 2 1 2 2 x + = x + x + 就是一例。” ——以上对话是教师在引导学生明确“方程”这个概念的内涵与外延。 什么是概念的内涵和外延？先从“概念”谈起