·1094· 工程科学学报，第41卷，第8期 式进行控制6).相比于传统的稳定闭环控制系统， 非光滑策略下的闭环控制系统能使受控对象具有较 强的抗干扰性能].此外，非光滑控制策略能实现 闭环控制系统的有限时间稳定. 2.1非光滑控制理论 针对一类二阶系统，可描述如下： (s1=s2 (6) 52=p 其中：S,和s2为系统状态：y为正奇数，当y=1时， 上述的系统为双积分系统.本文研究的受控结构系 统(5)可转化为如下表达形式： (X1=X2 (7) ☑m X2=M-(-MI +EU-CX2-F,) W 令F=M-1(-MⅢ元.+EU-CX2-F,),则系统 (7)正是y取值为1的系统，即双积分系统 田 针对受控系统，采用基于齐次性方法的非光滑 图1一维简化模型 控制方式，利用齐次性理论，对式(7)建立全局有限 Fig.1 Simplified one-dimensional model 时间闭环控制系统.该控制器为： 同，可取：=专=专，式(3)可简化为： =-k sign(s)Is,Ia-ksign(s2)Is2 I (8) 20" 其中，>0，石>0,0<a<,4,=y+1) 0:+0 y 1+1 (4) 2.2非光滑控制算法设计 9s、 10:+10 根据有限时间稳定理论18]，考虑到本建筑结构 该阻尼矩阵能够应用于大部分结构的动力分 的运动方程，将地震波加速度x。视为外部干扰项. 析.本文采用瑞雷阻尼组合运动方程的阻尼矩阵以 在结构的隔震层设置作动器，引入变量，则V= 进行后面的仿真分析. [心d…n]=[i1…in]T,选择如下 1.3受控结构状态方程 控制力： 确定结构的阻尼矩阵后，针对受控结构的运动 EU=MV+CX+F.+MI花. (9) 方程式(1)，定义状态变量X=[XX2],其中， 将式(8)代入式(5)，形成如下系统方程： X=[xbx]=D,X2=[x2 求=AX+BV (10) x2]T=D,则式(1)的状态空间方程为[5] 0 其中，A= TI 07.=1 因此，通过设计控制律 (X=AX+B(EU+P) 00 (5) Y=C,X+D,(EU+P) V实现结构振动的控制.系统(10)可解耦为如下n 01 0 个子系统： 式中，B=M小A= -M-K -M-C ,C= (x1h=x211=X21 (in=x2n (11) 01 「01 =x21=1 (i2n=n 0 I ,D= 0P=-MI -L 根据式(6)~(8)，对上述子系统采用如下非光 -M-K -M-C LM- 滑控制律： 2基于土木工程结构的非光滑控制算法设 i=-k1·sigm(x1b)lx1h1-k2·sign(x2h)1x2h1 (12) 计和系统稳定性分析 2.3非光滑控制系统稳定性分析 非光滑控制是对受控系统进行控制的一种非常 针对式(l0)和式(11)，选择子系统的Lyapunov 有效的方式，大部分非线性体系均可通过非光滑方 函数为[1]：工程科学学报,第 41 卷,第 8 期 图 1 一维简化模型 Fig. 1 Simplified one鄄dimensional model 同,可取 孜i = 孜j = 孜,式(3)可简化为: c = 2wiwj wi + wj 孜 q = 2孜 wi + w ì î í ï ï ï ï j (4) 该阻尼矩阵能够应用于大部分结构的动力分 析. 本文采用瑞雷阻尼组合运动方程的阻尼矩阵以 进行后面的仿真分析. 1郾 3 受控结构状态方程 确定结构的阻尼矩阵后,针对受控结构的运动 方程式(1),定义状态变量 X = [X1 X2 ] T ,其中, X1 = [x1b x11 … x1n ] T = D,X2 = [ x2b x21 … x2n ] T = D · ,则式(1)的状态空间方程为[15] : X · = AX + B(EU + P) Y = CvX + Dv(EU + P { ) (5) 式中,B = 0 M é ë ê ê ù û ú - 1 ú ,A = 0 I - M - 1K - M - 1 é ë ê ê ù û ú ú C ,Cv = I 0 0 - M -1K I - M -1 é ë ê ê ê ù û ú ú ú C ,Dv = 0 0 M é ë ê ê ê ù û ú ú -1 ú ,P = - MIx ·· g - L. 2 基于土木工程结构的非光滑控制算法设 计和系统稳定性分析 非光滑控制是对受控系统进行控制的一种非常 有效的方式,大部分非线性体系均可通过非光滑方 式进行控制[16] . 相比于传统的稳定闭环控制系统, 非光滑策略下的闭环控制系统能使受控对象具有较 强的抗干扰性能[17] . 此外,非光滑控制策略能实现 闭环控制系统的有限时间稳定[11] . 2郾 1 非光滑控制理论 针对一类二阶系统,可描述如下: s · 1 = s 酌 2 s · 2 = { v (6) 其中:s1和 s2为系统状态;酌 为正奇数,当 酌 = 1 时, 上述的系统为双积分系统. 本文研究的受控结构系 统(5)可转化为如下表达形式: X · 1 = X2 X · 2 = M - 1 ( - MIx ·· g + EU - CX2 - Fs { ) (7) 令 v = M - 1 ( - MIx ·· g + EU - CX2 - Fs),则系统 (7)正是 酌 取值为 1 的系统,即双积分系统. 针对受控系统,采用基于齐次性方法的非光滑 控制方式,利用齐次性理论,对式(7)建立全局有限 时间闭环控制系统. 该控制器为: v = - k1 sign(s1 ) |s1 | 琢1 - k2 sign(s2 ) |s2 | 琢2 (8) 其中,k1 > 0,k2 > 0,0 < 琢1 < 1 酌 ,琢2 = (酌 + 1)琢1 1 + 琢1 . 2郾 2 非光滑控制算法设计 根据有限时间稳定理论[18] ,考虑到本建筑结构 的运动方程,将地震波加速度 x ·· g 视为外部干扰项. 在结构的隔震层设置作动器,引入变量 vb ,则 V = [vb d ·· 1 … d ·· n ] T = [ vb v1 … vn ] T ,选择如下 控制力: EU = M V + CX · + Fs + MIx ·· g (9) 将式(8)代入式(5),形成如下系统方程: X · = AX + B V (10) 其中,A = éI 0 ë ê ê ù û ú ú 0 0 ,B = é0 ë ê ê ù û ú ú I . 因此,通过设计控制律 V 实现结构振动的控制. 系统(10)可解耦为如下 n 个子系统: x · 1b = x2b x · 2b = v { b , x · 11 = x21 x · 21 = v { 1 ,…, x · 1n = x2n x · 2n = v { n (11) 根据式(6) ~ (8),对上述子系统采用如下非光 滑控制律: vb = - k1·sign(x1b ) | x1b | a1 - k2·sign(x2b ) | x2b | a2 (12) 2郾 3 非光滑控制系统稳定性分析 针对式(10)和式(11),选择子系统的 Lyapunov 函数为[19] : ·1094·