教学内容 无穷限的广义积分 定义1设函数f(x)在区间[a+)上连续,取b>a,如果极限m上f(x)a存 在,则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a+∞)上的广义积分,记作厂f(x) f(x)dx f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛:当极限不存在时,称广义积分发散 类似地,设函数f(x)在区间(-b上连续,取a<b,如果极限lnf(x)r 存在则称此极限为函数/x)在无穷区间(一上的广义积分,记作[f(x f(x)dx lim f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在时,称广义积分发散 设函数f(x)在区间(-+∞)上连续如果广义积分上f(x)d和[f(x)d都 收敛,则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的广义积分, 记作」f(x)h f(x)da f(x)d f(x)dx =lim f(x)cx +lim l f(x)dx 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散 例1计算广义积分 解=+[", dx +lin lim arctan xp+ lim arctan x] b→+∞ lim arctan a + lim arctan b 口→ 丌 2)2 例2计算广义积分「 sin -dx =-lim2 教 学 内 容 一、无穷限的广义积分 定义 1 设函数 f (x) 在区间 [a,+) 上连续，取 b  a ，如果极限  →+ b b a lim f (x)dx 存 在，则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间 [a,+) 上的广义积分，记作  + a f (x)dx .  + a f (x)dx  →+ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. 类似地，设函数 f (x) 在区间 (−,b] 上连续，取 a  b ，如果极限  →− b a a lim f (x)dx 存在，则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间 (−,b] 上的广义积分，记作 − b f (x)dx . − b f (x)dx  →− = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. 设函数 f (x) 在区间 (−,+) 上连续,如果广义积分 − 0 f (x)dx 和  + 0 f (x)dx 都 收敛，则称上述两广义积分之和为函数 f (x) 在无穷区间 (−,+) 上的广义积分， 记作  + − f (x)dx .  + − f (x)dx − = 0 f (x)dx  + + 0 f (x)dx  →− = 0 lim ( ) a a f x dx  →+ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. 例 1 计算广义积分 . 1  2 + − + x dx 解：  + − + 2 1 x dx − + = 0 2 1 x dx  + + + 0 2 1 x dx  + = →− 0 2 1 1 lim a a dx x  + + →+ b b dx x 0 2 1 1 lim   0 lim arctan a a x →− =   b b x 0 lim arctan →+ + a a lim arctan →− = − b b lim arctan →+ + . 2 2     + =      = − − 例 2 计算广义积分 . 1 sin 1 2 2 +  dx x x 解：  +  2 1 sin 1 2 dx x x  +       = −  2 1 1 sin x d x        = − →+ b b x d  x 2 1 1 lim sin