lim cos-= lim cos--cos 例3证明广义积分广1 dx当p>l时收敛,当p≤1时发散 (1)p=1, d x dx=[mx]=+∞ (2)p≠1"1a=「x27/+p<1 因此当p>1时广义积分收敛,其值为 1;当P≤1时广义积分发散 例4证明广义积分当p>0时收敛,当p<0时发散 证明:「e"dr= lim e"pdx=lm b→+∞ b,D>0 pp <0 即当p>0时收敛,当p<0时发散 、无界函数的广义积分 定义2设函数f(x)在区间(ab]上连续,而在点a的右邻域内无界.取E>0, 如果极限lmf(x)d存在,则称此极限为函数f(x)在区间(a,b上的广义积 +0a+E 分,记作f(x)db f(x)dx =lm f(x)dx 当极限存在时,称广义积分收敛:当极限不存在时,称广义积分发散 类似地,设函数f(x)在区间[a,b)上连续,而在点b的左邻域内无界取E>0, 如果极限mf(x)存在,则称此极限为函数f(x)在区间[ab)上的广义积 记作f(x)dt=lmf(x)h 当极限存在时,称广义积分收敛:当极限不存在时,称广义积分发散3 b b x  2 1 lim cos       = →+       = − →+ 2 cos 1 lim cos  b b =1. 例 3 证明广义积分  + 1 1 dx x p 当 p 1 时收敛，当 p 1 时发散. (1) p =1,  + 1 1 dx x p  + = 1 1 dx x   + = 1 ln x = +, (2) p  1,  + 1 1 dx x p + −       − = 1 1 1 p x p       − +   = , 1 1 1 , 1 p p p 因此当 p 1 时广义积分收敛，其值为 1 1 p − ；当 p 1 时广义积分发散. 例 4 证明广义积分  + − a px e dx 当 p  0 时收敛，当 p  0 时发散. 证明：  + − a px e dx  − →+ = b a px b lim e dx b a px b p e       = − − →+ lim         = − − − →+ p e p e pa pb b lim         = − , 0 , 0 p p p e ap 即当 p  0 时收敛，当 p  0 时发散. 二、无界函数的广义积分 定义 2 设函数 f (x) 在区间 (a,b] 上连续，而在点 a 的右邻域内无界．取   0， 如果极限 →+  + b a f x dx   lim ( ) 0 存在，则称此极限为函数 f (x) 在区间 (a,b] 上的广义积 分，记作  b a f (x)dx .  b a f (x)dx →+  + = b a f x dx   lim ( ) 0 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散. 类似地，设函数 f (x) 在区间 [a,b) 上连续，而在点 b 的左邻域内无界.取   0 ， 如果极限  − →+   b a lim f (x)dx 0 存在，则称此极限为函数 f (x) 在区间 [a,b) 上的广义积 分， 记作  b a f (x)dx  − →+ =   b a lim f (x)dx 0 . 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散