第四章导数的应用 (2)如果在(a,x0)内有f(x)≥0;在x0(x0,b)内有f(x)≤0 则f(x)在x0取极大值 证明:用导数与单调性关系很容易证明。 定理:(极值的第二充分条件)假设函f(x)数在x0的某个邻域可 导,且f(x0)=0,又设∫"(x0)存在 (1)如果∫"(x)>0,则∫(x)在x0取极小值; (2)如果∫"(x0)<0,则∫(x)在x取极大值 证明:只证(1)设∫"(x0)>0 f(x)-f(xo) f(x)-f(xo Im f(x)>0 x xo 3δ20使得在(x0-6,x+0)内恒有<(x)-f(x) 2>0 即,f(x)-f(x0)>0,可见f(x)在x0取极小值 同样的方法可以证明结论(2) (C)函数在闭区间上的最大值和最小值 设∫:[a,b→>R,若欲求其最大(小)值点,可遵循以下步骤: (1)先求函数f(x)在(a,b)中的全部极大(小)点:x1,i=1,…,k (2)Maxf(x)=Max{f(a),f(b),f(x)i=1…k} 例3求函数f(x)=x2-5x5在区间[-13上的最大值与最小值 解:由f(x)= 5(x2 (x2+1)2 得到两个驻点,x1=1-√2,x2=1+√2 比较函数值∫(x1)=7.04,f(x2)=-003,f(-1)=0,f(3)=0 得知,∫在点x1=1-√2取[-13]上的最大值f(x1)=704 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 (2) 如果在 ( , ) 0 a x 内有 f (x)  0 ;在 0 x ( , ) x0 b 内有 f (x)  0 , 则 f (x) 在 0 x 取极大值. 证明: 用导数与单调性关系很容易证明。 定理: (极值的第二充分条件) 假设函 f (x) 数在 0 x 的某个邻域可 导,且 f (x0 ) = 0 ,又设 ( ) 0 f  x 存在. (1) 如果 f (x0 )  0,则 f (x) 在 0 x 取极小值; (2) 如果 f (x0 )  0,则 f (x) 在 0 x 取极大值. 证明: 只证(1)设 f (x0 )  0, ( ) 2 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → = ( ) lim ( ) 0 2 ( ) ( ) lim 0 0 0 0 =   −  −  → → f x x x f x f x x x x x .   >0,使得在 ( , ) x0 − x0 + 内恒有 ( ) 0 ( ) ( ) 2 0 0  − − x x f x f x , 即， f (x) − f (x0 )  0 , 可见 f (x) 在 0 x 取极小值.. 同样的方法可以证明结论(2). (C) 函数在闭区间上的最大值和最小值 设 f :[a,b] → R , 若欲求其最大(小)值点，可遵循以下步骤： (1) 先求函数 f (x) 在 (a,b) 中的全部极大(小)点: x i k i , =1,  , ; (2) Max f x Maxf a f b f xi i k x a b ( ) ( ), ( ), ( ), 1, , [ , ] = =   例.3 求函数 1 5 6 ( ) 2 2 + − + = x x x f x 在区间 [−1,3] 上的最大值与最小值. 解: 由 0 ( 1) 5( 2 1) ( ) 2 2 2 = + − −  = x x x f x , 即 2 1 0 2 x − x − = , 得到两个驻点, x1 = 1− 2 , x2 = 1+ 2 . 比较函数值 f (x1 ) = 7.04, f (x2 ) = −0.03, f (−1) = 0 , f (3) = 0 . 得知, f 在点 x1 = 1− 2 取 [−1,3] 上的最大值 f (x1 ) = 7.04 ;