例1设A是m阶矩阵,证明:存在n×s矩阵B≠0,使 得AB=0的充要条件是4=0 证将B按列分块为[B,B2…,B、,则AB=0等价 于 AB= 0 5···9 即B的每一列都是齐次线性方程组AX0的解 若AB=0,B≠0,则AX=0有非零解,故|4=0;反之, 若4=0,取AX0的s个非零解作为B的s个列, 则B≠0,但它使得AB=0 6 2021/2/202021/2/20 6 例1 设A是n阶矩阵, 证明: 存在ns矩阵B0, 使 得AB=0的充要条件是|A|=0. 证 将B按列分块为[B1 ,B2 ,...,Bs ], 则AB=0等价 于 ABj =0, j=1,2,...,s, 即B的每一列都是齐次线性方程组AX=0的解. 若AB=0, B0, 则AX=0有非零解, 故|A|=0; 反之, 若|A|=0, 取AX=0的s个非零解作为B的s个列, 则B0, 但它使得AB=0