梯度向量场的判别 单连通区域上v=P(x,y,z)i+Q(x,y,2j+R(x,y,z)k是梯度向量场 k → 0 =0 Ox ay 0z P Q R 证明： （充分性)构造函数 x,y)=P(x2k+旷0xy+∫ R(xo2 Yo2)d 验证知v= 水 j+ 梯度向量场的判别 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 P x y z Q x y z R x y z x y z P Q R            v i j k i j k 单连通区域上 是梯度向量场 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x y z x y z P x y z dx Q x y z dy R x y z d x y z   z               v i j k 证明：（充分性）构造函数 ， 验证知