梯度向量场的判别 单连通区域上v=P(x,y)i+Q(x,y)j是梯度向量场台 (x,)=9 ay (x.y) 证明：（充分性）构造函数Φ(x,)=∫P(x,y)+() 00: -号rx恤+vo-en恤+von =Q(x,y)-Q(xo,y)+'(y),故Q(x,y)=w'(y)→w(y)=∫Q(x,y)d (x)=P(x,y+(,y) 验证知v= i+地梯度向量场的判别 P x y Q x ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) P Q y x y x y y x         单连通区域上v i j是梯度向量场 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( ) ( , ( ) ( ) ( , ) ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ( , ) ) ( , ) x x x x x x y y x y x y x y P x y dx Q x y P x y dx y Q x y dx y P x y dx y y y y x Q x y Q x y y Q Q x x y y Q x y dy x y y d x y y                                               v i j 证明：（充分性）构造函数 ，故 ，验证知