edx=pr(s),(p>0, s>0) 且)令x=1,→【()=2[r-e-d 注意到结果e-d=y,得r)的一个特殊值 2Vr≈1772454 i令x=-lnt(x>0),得r(s)="[ln1t2-dh.取2=1,得 r(s)=In- dt=[(Int)-dt 例2计算积分[x2"edx,其中n∈Z 解 obo 2e dt=r(n+3) (2n-1)!!1 Bea函数B(p,q)-Eler第一型积分 Beta函数及其连续性 称(含有两个参数的)含参积分x(1-x)dx(p>0,q>0)为Elr第 一型积分.当p和q中至少有一个小于1时,该积分为瑕积分.下证对 p>0,q>0,该积分收敛.由于P,q<1时点x=0和x=1均为瑕点.故把 积分分成2和考虑 p≥1时为正常积分;0<p<1时,点x=0为瑕点由被积函数 0+)和1-p (由 Cauchy判法)→积分2收敛.(易见P=0时积分2发散) q≥1时为正常积分,0<p<1时,点x=1为瑕点.由被积函数非负 (1-x)(1-x)xP→1,(x→1)和1-q<1,, . ∫ +∞ −− − Γ= 0 1 spdxex )( pxs s sp >> ) 0 , 0 ( ⅱ> 令 , ⇒ . 2 = tx ∫ +∞ −− =Γ 0 12 2 2)( dtets ts 注意到结果 ∫ ∞+ − = 0 2 2 π dxe x , 得 的一个特殊值 Γ s)( 2 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ 772454.1 2 2 0 2 ≈=⋅= ∫ ∞+ − π π dte t . ⅲ> 令 −= λ tx λ > )0( ln , 得 Γ s)( ∫ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 1 1 ln dtt t s s λ λ . 取λ =1, 得 Γ s)( ∫ ∫ − − ⎟ −= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 0 1 1 )ln( 1 ln dttdt t s s . 例 2 计算积分 , 其中 . ∫ +∞ − 0 2 2 dxex xn + ∈ Zn 解 I ∫ ∞+ + − = − − =Γ − ==== ⋅=+Γ= 0 1 2 1 2 !)!12( ) 2 1 ( 2 !)!12( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 π n n t xt n n n ndtet . 二. Beta 函数 qpB ),( ——Euler 第一型积分： 1． Beta 函数及其连续性： 称( 含有两个参数的 )含参积分 为 Euler 第 一型积分. 当 ∫ − − − 1 0 1 1 )1( dxxx p q qp >> ) 0 , 0 ( p 和 中至少有一个小于 1 时, 该积分为瑕积分. 下证对 , 该积分收敛. 由于 q qp >> 0 , 0 qp < 1 , 时点 x = 0和 x = 1均为瑕点. 故把 积分 分成 ∫ 1 0 ∫ 2 1 0 和 ∫ 1 2 1 考虑. ∫ 2 1 0 : p ≥ 1时为正常积分; < p < 10 时, 点 x = 0为瑕点. 由被积函数 非负, ) 0 ( , 1)1( 和 −− 11 −1 →→− + xxx x pp q − p < 11 , ( 由 Cauchy 判法) ⇒ 积分 ∫ 2 1 0 收敛 . ( 易见 p = 0 时积分 ∫ 2 1 0 发散 ). ∫ 1 2 1 : q ≥ 1时为正常积分; p << 10 时, 点 x = 1为瑕点. 由被积函数非负, ) 1 ( , 1)1()1( 和 1− −− 11 →→ − −− xxx x q pq − q < 11 , 251