(由camy判法)=积分上收敛,(易见q=0时积分」发散 综上,P>0,q>0时积分收敛设 D={(P,q)10<p<+∞,0<q<+o} 于是,积分[定义了D内的一个二元函数.称该函数为Be函数,记为 B(p,q),即 B(p,q)=x(1-x)9-dx (P>0,q>0) 不难验证,B-函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此,B-函 数是D内的二元连续函数 2.B-函数的对称性:B(P,q)=B(q,p) 证B(P,q)-[x-"(l-x)d (1-1)2r9d Sra-np-dt=B(q,p) 由于B-函数的两个变元是对称的,因此,其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有 3.递推公式:B(p+1,q+1)=-9B(p+1,q) p+q 证B(P+1,q+1)=x(1-x)yd= (1-x)d(xP+) (1-x) r)9-ldx=q (1-x) +1 if Cx(-x)o-dx=[x-x(1-x)(-x)o-idx =[x(1-x)dx-xP(1-x)atx=B(P+1,q)-B(p+1,q+1) 代入*)式,有 B(p+1,q+1) g-B(P+1, q) B(P+1,q+1) P P 解得B(P+1,q+1)= B(p+1,q) 252( 由 Cauchy 判法) ⇒ 积分 ∫ 1 2 1 收敛 . ( 易见 q = 0 时积分 ∫ 1 2 1 发散 ). 综上, qp >> 0 , 0 时积分 收敛 ∫ . 设 1 0 D = < pqp <+∞< q < +∞}0 , 0 |),( { , 于是, 积分 定义了 D 内的一个二元函数. 称该函数为 Beta 函数, 记为 , 即 ∫ 1 0 qpB ),( qpB ),( = ∫ − − − 1 0 1 1 )1( dxxx p q qp >> ) 0 , 0 ( 不难验证, B − 函数在D内闭一致收敛. 又被积函数在D内连续, 因此 , B − 函 数是 D 内的二元连续函数. 2. B − 函数的对称性: qpB ),( = pqB ),( . 证 qpB ),( = ∫ − − − 1 0 1 1 )1( dxxx p q ∫ −−===== = −− −= 0 1 11 1 )1( dttt qp tx . ∫ =−= − − 1 0 1 1 pqBdttt ),()1( q p 由于 B − 函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元 自然也具有. 3. 递推公式: ) , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( qpB qp q qpB + ++ =++ . 证 ∫ ∫ − = + =−=++ + 1 0 1 0 1 )()1( 1 1 )1() 1 , 1( p q pq xdx p dxxxqpB dxxx p q dxxx p q xx p pq p q p q ∫ ∫ + + − + − − + =− + − + + = 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 )1( 1 )1( 1 )1( 1 1 ) * 而 ∫ ∫ =−−−=− + − − 1 0 1 1 0 1 1 )1)](1([)1( dxxxxxdxxx p q pp q , ∫ ∫ ++−+=−−−= − 1 0 1 0 1 )1( qpBqpBdxxxdxxx )1 , 1() , 1()1( p q p q 代入 式, 有 ) * ) 1 , 1 ( 1 ) , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( ++ + −+ + =++ qpB p q qpB p q qpB , 解得 ) , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( qpB qp q qpB + ++ =++ . 252