连续时间时,在P(1)中找不到直接生成它的最小者”但是,从 Chapman-Kolmogorov方程 P(s+D)=P(s)P(t),P(0)=I的形式看,它是一个无穷维的矩阵值函数方程我们拿一个 与它相象而最且简单的函数方程∫(t+s)=f(m)f(s),∫(0)=1分析,这个方程在t=0处 连续的通解为且而解∫()则完全由α=∫'(O)确定。由此猜测,在正常的情形下,如果 P()->I满足,P()在t=0处的微商P'(0)似乎应该存在,而且描述P()的演化 进程的最基本的量也应该就是P'(0) 事实上,在实际应用中都可以无妨地认为,P'(O)确实有限,而且唯一确定了P(t)(用 严格的数学可以证明,P(O)只是在较广的意义理解下存在,即:P2(.(≠存在,但Pa(0)却 可能取-∞,而且这样的P'(0)未必能唯一地确定P(1),这些都是理论概率论中的纯数学问题,而在 实际应用中一般是不会遇到的).于是就应用范围所关心的视点而言,我们可以说,在实用中遇 到的连续时间的 Markov链的转移矩阵P()关于t是可微的,而且P()可由它在t=0处的 微商P'(0)所确定 定义6.6设P()0→I满足,把P(0)记为Q,称为转移矩阵P(t)的转移速 率矩阵或形式生成元(有时也简称为Q矩阵)即 Q=P(0) (6.10 概率速率矩阵Q之所以重要,是因为一般P()不能直接由测量得到,然而Q却可通 过实验手段测得.由它再通过解一个称为 Kolmogorov方程的矩阵微分方程就可解出P(t) (参见后文).这样就能得到连续时间的 Markov链的统计分布.这构成了研究连续时间的 Markov链的统计行为的主要思路 又由于形式生成元Q与转移矩阵P()间的密切关系,所以在我国的概率界常称P()为 转移速率矩阵Q的Q过程.这是一个具有中国特色的称谓 在本章中,我们恒假定满足 P(t 2 Poisson过程与复合 Poisson过程再访 例6.7( Poisson过程作为 Markov过程转移矩阵与转移速率矩阵)144 连续时间时, 在P (t) 中找不到直接生成它的”最小者”. 但是, 从 Chapman-Kolmogorov 方程 P (s + t) = P(s) P (t) , P(0) = I 的形式看, 它是一个无穷维的矩阵值函数方程. 我们拿一个 与它相象而最且简单的函数方程 f (t + s) = f (t) f (s), f (0) = 1分析， 这个方程在t = 0 处 连续的通解为且而解 f (t) 则完全由 a = f '(0) 确定. 由此猜测，在正常的情形下，如果 P (t) ¾t¾®0® I 满足, P (t) 在t = 0 处的微商 P ’(0) 似乎应该存在, 而且描述 P(t) 的演化 进程的最基本的量也应该就是 P ’(0) ． 事实上，在实际应用中都可以无妨地认为，P ’(0) 确实有限，而且唯一确定了 P(t) (用 严格的数学可以证明, P ’(0) 只是在较广的意义理解下存在, 即： p '(0),(i j) ij ¹ 存在, 但 '(0) pii 却 可能取 - ¥ ， 而且这样的 P ’(0) 未必能唯一地确定 P (t) , 这些都是理论概率论中的纯数学问题, 而在 实际应用中一般是不会遇到的). 于是就应用范围所关心的视点而言, 我们可以说, 在实用中遇 到的连续时间的 Markov 链的转移矩阵 P (t) 关于t 是可微的, 而且 P(t) 可由它在t = 0 处的 微商 P ’(0) 所确定. 定义６.６ 设P (t) ¾t¾®0® I 满足，把 P ’(0) 记为 Q , 称为转移矩阵 P(t) 的转移速 率矩阵或形式生成元（有时也简称为Q 矩阵） 即 Q P D = ’(0) . (6. 10) 概率速率矩阵Q 之所以重要， 是因为一般 P(t) 不能直接由测量得到, 然而Q 却可通 过实验手段测得. 由它再通过解一个称为 Kolmogorov 方程的矩阵微分方程就可解出 P (t) (参见后文)． 这样就能得到连续时间的 Markov 链的统计分布. 这构成了研究连续时间的 Markov 链的统计行为的主要思路. 又由于形式生成元Q 与转移矩阵P (t) 间的密切关系, 所以在我国的概率界常称P(t) 为 转移速率矩阵Q 的 Q-过程. 这是一个具有中国特色的称谓． 在本章中, 我们恒假定满足 P (t) ¾t¾®0® I . (6.11) 2 Poisson 过程与复合 Poisson 过程再访 例６．７ （Poisson 过程作为 Markov 过程转移矩阵与转移速率矩阵）