12 高等数学重点难点100讲 例5复合函数y= +是由哪些基本初等函数或多项式复合成的? 解从最外层看是幂函数y=a2;再看次外层是正弦函数a=sinu;从外向里第三层是 幂函数U=0-,最里层是多项式如=x2+1,a是由幂函数与常数函数经过加法运算得到 的 所以y=sini +是由y=2,l=si0,=a-÷,0=x2+1复合而成的 2.分析法 所谓分析法就是抓住最外层函数定义域的各区间段结合中间变量的表达式及中间变 量的定义域进行分析,从而得出复合函数的方法该法适用于初等函数与分段函数或分段函 数之间的复合. <1 x+2,x< 例6设f(x)= p(or) x2-1,x≥0,求∫g(x)] 解第一步:以g(x)替换∫(x)中的x,由函数的“无关特性”得 f[g(x)]= ex),g(x)<1…分段函数的第一段; g(x),y(x)≥1……分段函数的第二段 第二步:分段求出∫[yx)]的表达式 (1)考虑第一段:f[g(x)]=e),g(x)<1,g(x)= 十2,x<0; 1,x≥0. 由上述表达式可知:使g(x)<1,即使g(x) 2<1,x<0; x2-1<1,x≥ 的自变量的变化 范圈为{2<-1 x2<2 或 即x<-1,或0≤x<√2. <0 0 故第一段的表达式为f[g(x)]=ew(g(x)<1)= 0≤x<√2 (2)考虑第二段:f[y(x)]=g(x),y(x)≥1,gx)= 2,x<0; 可见使g(x) 1,x≥0. ≥1,即使x)= +2≥1,x<0; 的自变量x的取值范围为 x≥-1,x3≥2 x<0 即 1≥1,x≥ 1≤x<0,或x≥√2 故第二段的表达式为∫[gx)]=g(x)(y(x)≥1) 1≤x<0; x2-1,x≥√2 第三步:综上,写出f[y(x)]的完整表达式 x+2 1≤x<0 f[(x)] 0≤x<√