第二章矢量和张量 力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向的物理量称为标量，例如温度、密度、 时间等，既有大小又有方向的物理量称为矢量，例如矢径、位移、速度、力等。具有多重方 向性的更为复杂的物理量称为张量，例如一点的变形需要用六个应变分量来描述，一点的应 力状态可以用应力张量来表示，它们具有二重方向性。有必要了解一些这类量的一般知识， 标量和矢量也可以看作是零阶和一阶张量。 2.1矢量 三维空间中矢量定义为具有给定大小和方向的有向线段。在给定坐标系{e,e2,e3}中， 一个矢量表示为：a=a,e1+a2e2+a,e,设有另一个坐标系{e,e,e},两个坐标系之间 的关系为： e=cue +cpze2 +cies e=C21e1+C22e2+C23e (2.1) e=Cse +Cs2e2 +C33es 写成矩阵的形式为 e (2.2) e e {e,e,e}、{e,e2,e3}均为直角坐标系，单位向量e,e2,e互相正交，e,e,e也互相正 交，由此可推出 e {e,e,e=( (2.3) e 所以CCT=I,I为单位矩阵，即C为正交矩阵。 设向量a在坐标系{e1,e2,e3}中的坐标为(a,a2,a3),则 a a a={e,e2,e3} =ei.)C (2.4) 由此可知向量a在坐标系{e,e,e中的坐标为第二章 矢量和张量 力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向的物理量称为标量，例如温度、密度、 时间等，既有大小又有方向的物理量称为矢量，例如矢径、位移、速度、力等。具有多重方 向性的更为复杂的物理量称为张量，例如一点的变形需要用六个应变分量来描述，一点的应 力状态可以用应力张量来表示，它们具有二重方向性。有必要了解一些这类量的一般知识， 标量和矢量也可以看作是零阶和一阶张量。 2.1 矢量 三维空间中矢量定义为具有给定大小和方向的有向线段。在给定坐标系 中， 一个矢量表示为： ，设有另一个坐标系 123 {, , } eee 11 2 2 33 a = aa a e e + + e 123 {, , } eee ′ ′ ′ ，两个坐标系之间 的关系为： 1 11 1 12 2 13 3 2 21 1 22 2 23 3 31 1 32 2 33 cc c cc c cc c ⎧ ′ =++ ⎪ ⎨ ′ =++ ⎪ ⎩ ′ =++ eee e ee e ee 3 3 e e e 2 (2.1) 写成矩阵的形式为 1 1 2 3 3 ⎧ ′ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ′ = ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ′ ⎩⎭ ⎩⎭ C e e e e e ⎪ e T = CC a (2.2) 123 {, , } eee ′′′ 、 均为直角坐标系，单位向量 互相正交， 也互相正 交，由此可推出 123 {, , } eee 123 eee , , 123 eee ′′′ , , 1 1 T T 2 123 2 123 3 3 {, , } {, , } ⎧⎫ ⎧⎫ ′ ⎪⎪ ⎪⎪ == = ⎨⎬ ⎨⎬ ′ ′′′ ⎪⎪ ⎪⎪ ′ ⎩⎭ ⎩⎭ I CC CIC e e e eee e eee e e (2.3) 所以 ， CC I T = I 为单位矩阵，即 为正交矩阵。 C 设向量a 在坐标系 中的坐标为 ，则 123 {, , } eee 123 (, , ) aa a 1 1 123 2 123 2 3 3 {, , } {, , } a a a a a ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ = ′′′ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎭ ⎩⎭ a = eee eee C ⎪ (2.4) 由此可知向量a 在坐标系 中的坐标为 123 {, , } eee ′′′ 1