第十四章傅里叶级数 §1三角级数与傅里叶级数 证明 (1) sin T,sin2x,…,sinx,…是[0,r上的正交系 (2)snr,sin3r,…,sin(2n+1)x,…是0.,型上的正交系; (3)1,cosx,cos2r,…, coS n T,…是[0,上的正交系; (4)1,sinx,sin2x,…,sinn,…不是0,π上的正交系 2.求下列周期为2丌的函数的傅里叶级数: (1)三角多项式Pn(x)=∑( ai cos 2r+ b sin ix); (2)f(x)=x3(-丌<x<丌); (3)f(a)=cos 2: (4)f(x)=cn(-丌<x<丌) (5)f(x)=|sinx(-丌<x<丌) (6)f(x)= ar cos r(-丌<x<丌); (7)f(x)= ,-丌<x<0 0,0≤x<丌 (8)f(x)=2-r2(-丌<x<π) (9)f(a)=sgn cos r (10)f(x)=2(0<x<2x)第十四章 傅里叶级数 §1 三角级数与傅里叶级数 1．证明 (1) sin x，sin 2x，· · ·，sin nx，· · ·是[0, π]上的正交系； (2) sin x，sin 3x，· · ·，sin (2n + 1) x，· · ·是[0, π 2 ]上的正交系； (3) 1，cos x，cos 2x，· · ·，cos nx，· · ·是[0, π]上的正交系； (4) 1，sin x，sin 2x，· · ·，sin nx，· · ·不是[0, π]上的正交系； 2．求下列周期为2π的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式Pn (x) = Pn i=0 (ai cosix + bi sin ix)； (2) f (x) = x 3 (−π < x < π)； (3) f (x) = cos x 2； (4) f (x) = e ax (−π < x < π)； (5) f (x) = |sin x| (−π < x < π)； (6) f (x) = x cos x (−π < x < π)； (7) f (x) =    x, − π < x < 0 0, 0 ≤ x < π ； (8) f (x) = π 2 − x 2 (−π < x < π)； (9) f (x) = sgn cos x； (10) f (x) = π−x 2 (0 < x < 2π). 1