3.设f(x)以2π为周期,在[-π,n绝对可积,证明 (1)如果函数f(x)在-丌,满足f(x+丌)=f(x),则 a2m-1=b2m-1=0,m=1,2, (2)如果函数f(x)在-丌,满足f(x+)=-f(x),则 1.2. 2傅里叶级数的收敛性 将下列函数展成傅里叶级数,并讨论收敛性: (1)f(x)= .r sin rr∈[-丌,丌]; 0,7 ∫(x) x∈一丌 由展开式 r=2∑(-1)x+1sinm (-丌<x<丌 (1)用逐项积分法求x2,x3,x4在(-丌,)中的傅里叶展开式 (2)求级数∑(,∑是的和 3.(1)在(-丌,m)内,求f(x)=c的傅里叶展开式 (2)求级数 的和 n=1 4.设f(x)在[-丌,丌上逐段可微,且f(-丌)=f(r).an,b为f(x)的傅 里叶系数,an,矶是f(x)的导函数f(x)的傅里叶系数,证明: do=0an=nbnb3．设f(x)以2π为周期，在[−π, π]绝对可积，证明： (1) 如果函数f(x)在[−π, π]满足f (x + π) = f (x)，则 a2m−1 = b2m−1 = 0, m = 1, 2, · · · (2) 如果函数f(x)在[−π, π]满足f (x + π) = −f (x)，则 a2m = b2m = 0, m = 1, 2, · · · . §2 傅里叶级数的收敛性 1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) f (x) = x sin x x ∈ [−π, π]； (2) f (x) =    x 2 , x ∈ [0, π] 1, x ∈ [−π, 0) ； 2．由展开式 x = 2X∞ n=1 (−1)n+1 sin nx n (−π < x < π) (1) 用逐项积分法求x 2，x 3，x 4在(−π, π)中的傅里叶展开式； (2) 求级数 P∞ n=1 (−1)n+1 n4 ， P∞ n=1 1 n4的和. 3．(1) 在(−π, π)内，求f (x) = e x的傅里叶展开式； (2) 求级数 P∞ n=1 1 1+n2的和. 4．设f(x)在[−π, π]上逐段可微，且f (−π) = f (π). an，bn为f(x)的傅 里叶系数，a 0 n，b 0 n是f(x)的导函数f 0 (x)的傅里叶系数，证明： a 0 0 = 0a 0 n = nbnb 0 n = −nan ( n = 1, 2, · · ·). 2