5.证明:若三角级数 中的系数an,bn满足关系 max{n3anl,n3bn|}≤M 其中M为常数,则上述三角级数收敛,且其和函数具有连续的导函数 6.设Tn(x)=+∑( ak cos kz+ bk sin k),求证: Tn (a) Tn(r+t in(n+2)t dt 7.设f(x)以2为周期,在(0,2π)上单调递减,且有界,求证:bn 8.设f(x)以2为周期,在(0,2x)上导数f(x)单调上升有界.求 ≥0(n>0) 9.证明:若f(x)在x点满足a阶的利普希茨条件,则f(x)在xo点连续 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子 设f(x)是以2π为周期的函数,在-π,丌绝对可积,又 设Sn(x)是f(x)的傅里叶级数的前n项部分和 ∑( ar cos kz+ bk sin ha) 则sn(x)=是031+20+(=2Dn(2)d, 其中Dn(t)是狄利克雷核 11.设f(x)是以2π为周期,在(-∞,∞)连续,它的傅里叶级数在xo点 收敛.求证 Sn(xo)→f(xo)(n→+∞) 35．证明：若三角级数 a0 2 + X∞ n=1 (an cos nx + bn sin nx) 中的系数an，bn满足关系 max ©¯¯n 3 an ¯ ¯ , ¯ ¯n 3 bn ¯ ¯ ª ≤ M 其中M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数. 6．设Tn (x) = a0 2 + Pn k=1 (ak cos kx + bk sin kx)，求证： Tn (x) = 1 2π Z π −π Tn (x + t) sin ¡ n + 1 2 ¢ t sin t 2 dt. 7．设f(x)以2π为周期，在(0, 2π)上单调递减，且有界，求证：bn ≥ 0 (n > 0). 8． 设f(x)以2π为 周 期 ， 在(0, 2π)上 导 数f 0 (x)单 调 上 升 有 界. 求 证：an ≥ 0 (n > 0). 9．证明：若f(x)在x0点满足α阶的利普希茨条件，则f(x)在x0点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子. 10． 设f(x)是 以2π为 周 期 的 函 数 ， 在[−π, π]绝 对 可 积 ， 又 设Sn (x)是f(x)的傅里叶级数的前n项部分和 Sn (x) = a0 2 + Xn k=1 (ak cos kx + bk sin kx) 则Sn (x) = 4 π R π 2 0 f(x+2t)+f(x−2t) 2 Dn (2t) dt， 其中Dn (t)是狄利克雷核. 11．设f(x)是以2π为周期，在(−∞,∞)连续，它的傅里叶级数在x0点 收敛. 求证： Sn (x0) → f (x0) (n → +∞). 3