定义 设H是线性空间，如果对任给x,y∈H,都对应着一个数（红，）∈F满足 如下条件： ()正定性：任给x∈H,有(，x)≥0，并且(x,x)=0当且仅当x=0: ()共轭对称性：对任何x,y∈H,有（红，）=(，： (ii)关于第一变元的线性性：对任何x,y,z∈H以及任何a,B∈F,有 (az+By,)=a(I,y)+B(y,2); 则称(，)为H中的内积，而称（红，）为x与y的内积.当F为实数 域时，称定义了内积的H为实内积空间.当F为复数域时，称定义了内 积的H为为复内积空间.一般地，我们称H为数域F上的内积空间 对任何x头，z∈H以及任何a,B∈F,有 (z,QT+By)=(Qx+By,2)=a(T,)+B(y,2) =a(x,2)+(,z=a(a,)+(名，) 因此内积关于第二个变元是共轭线性的 泛函分析 November 1,2021 3/41定义 设 H 是线性空间, 如果对任给 x, y ∈ H, 都对应着一个数 (x, y) ∈ F 满足 如下条件: (i) 正定性: 任给 x ∈ H, 有 (x, x) ≥ 0, 并且 (x, x) = 0 当且仅当 x = 0; (ii) 共轭对称性: 对任何 x, y ∈ H, 有 (x, y) = (y, x); (iii) 关于第一变元的线性性: 对任何 x, y, z ∈ H 以及任何 α, β ∈ F, 有 (αx + βy, z) = α(x, y) + β(y, z); 则称 (·, ·) 为 H 中的内积, 而称 (x, y) 为 x 与 y 的内积. 当 F 为实数 域时, 称定义了内积的 H 为实内积空间. 当 F 为复数域时, 称定义了内 积的 H 为为复内积空间. 一般地，我们称 H 为数域 F 上的内积空间. 对任何 x, y, z ∈ H 以及任何 α, β ∈ F, 有 (z, αx + βy) = (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) = α(x, z) + β(y, z) = α(z, x) + β(z, y) 因此内积关于第二个变元是共轭线性的. 泛函分析 November 1, 2021 3 / 41