y2+22=k2+2kx (17) 因此(21)式可化简成 或 红=6(g+2-创 (18) 0= 0o vk (23) V2√k+x 现在求它的总曲率K,由于曲面方程(18)具有 x=∫(y,)的形式，因此(3)式中的卫应改为 比较(19)和(23)式.得g=o√EK (24) 6x 0￥ ,9应改为号，等等，即 这就是所要求的关系式。 六，讨论 卫 0x=名， 02=R,q= 0x=y (1)本文所分析的三种二次曲面的电荷面 0y k y=02x=1 密度0都与曲面的总曲率K的1/4次幂成正 6x1 =02江=友，=0y产=市 比，这表明曲率大的地方电荷密度也大，与实 的6=0 验规律一致。由于总曲率与主曲率半径R,和 8=0z0y R2的乘积成反比，因此粗略地讲，对于这几种 代入(3)式，并利用(17)式，得 形状的导体电荷密度与曲率半径R的平方根成 2 1 反比，这与[6]所得的结论（σ与R成反比)不 K=2+y产+2=4(k+0)产 (19) 同。 已知带电旋转抛物面电场的电势为4幻 (2)本文所得结论并不具有普遍适用性， =2 xook In=a+y+y 这可从下述事实看出，第一，对于带电平面，柱 (20) 面及锥面，其总曲率K显然等于零，而电荷密 式中为顶点(-会，0,0)处电荷面密度。 度却不为零，也不为常数：第二，导体表面凹进 去的部份（曲率为负）电荷密度最小。这两件事 由关系式。= E=1,v1上，可得 实本文均不能加以解释，对其它形状的导体是 4π4元 否仍有类似关系亦需进一步讨论。 V 2 gok 参考文献 2(-出+Vx2+y2+22)m [1了W.R.斯迈斯著，戴世强译，静电学和电动力学，科学出 1 版社，1981，上册，第五章， ×(2+y2+2 (21) [2]曹国良，孤立带电导体的拉普拉斯方程解，物理，1982,1， 第59页. 注意到旋转抛物面的曲面方程(17)可表示为 C3]数学手册，人民教育出版社，1979年，第七章 [4]福里斯等著，普通物理学，1954年，第一卷，第九章。 -x+/x2+y2+22=k(x<0)(22) [5]曹萱龄等编，物與学，1979年中册，第65页. (上接23页) (a)0=0s4c.(b)t=0.6c (c)v=cos0 (d）0=0.8g (e)v=c 8=45 图6 总之，高速运动物体的洛仑兹收缩效应是不能直 参考。文献 接看到的。以上例子或许有助于消除由一般教科书中 通常采用的表述方法所引起的错觉. C1]J.Terrell,Py.Reo.116(1959),1041.' [2]V.F.Weisskopf,Phy.Today,13(Sep.1960),24. ·12·3，+ =k+2kx (17) 因此(21)式可化简成 或 ：=：-2-~-(y+。一k。) (18) 现在求它的总曲率K．由于曲面方程(18)具有 = f(Y，)的 形式 ，因此 (3)式 中 的 应 改 为 鲁，g应改为 ，等等，印 Ox 名 Ox i， 百 00 1 ． 00 1 r：= 一 百 ， 百 s= = 。 代入(3)式，并利用(17)式 ，得 =可 = (19) 已知 带 电旋转 抛物面 电场 的 电势为m = 2~ ok In —- x— +— Cx2—~ y～ 2+ z2 (2O) 式中。为顶点(一睾，o，o)处电荷面密度． 由关系式 一彳，_=：1l l曲面上，可得 o-：==_ _ l／'Y aok 2(一 +1／／。。 干 i‘)， ×百 (21) 注意到旋转抛物面的曲面方程(17)可表示为 一茹+1／／ _ - ：庇( < O) (22) ： 粤 ： (23) 1／ 2 i／ k+ 一 一 1 比较 (19)和 (23)式 ．得 O'~-- 01／ (24) 这就是所要求的关系式． 六 讨 论 (1)本文所分析的三种二次曲面的电荷面 密度 都与曲面的总曲率 的 1／4次幂 成 正 比 ，这 表 明曲率 大的 地方 电荷密度 也 大 ，与实 验规律一致 ．由于总曲率与主曲率半 径 和 的乘积成反 比，因此粗略地讲，对于这几种 形状的导体电荷密度与曲率半径 的平方根成 反 比 ，这 与 [6]所 得的结 论 ( 与 成反 比)不 同。 (2)本文所得结论并不具有普遍适用性， 这可从下述事实看出，第一，对于带电平面 ，柱 面及锥面 ，其总曲率 显然等于零，而电荷密 度却不为零，也不为常数，第=，导体表面凹进 去的部份(曲率为负)电荷密度最小．这两件事 实本文均不能加以解释，对其它形状的导体是 否仍有类似关系亦需进一步讨论． 参 考 文 献 【1]W．R．斯迈斯著 ，戴世强译 ，静 电学和 电动力 学 ，科学 出 版社 ，1981，上册 ，第五章． [2]曹国良，孤立带 电导体的拉普拉斯方程解 ，物理 ，1982，1， 第 59页． C3j数学手册 ，人 民教育出版社，1979年 ，第七章． [4]福里斯等著，普通物理学，1954年 ，第一卷，第九氧 【6]曹萱龄等编 ，物理学，1979年中册 ，第 65页． (上 按 23页 ) 3 2 1 3 2 囤I． 一 41～3,2 总之。 高速运动物体的洛 仑兹收缩效应是不能直 接看 到的． 以上例子或许有助于消除由一般教科 书中 通常采用 的表述方法所引起的错觉． · I2 · 参 考 文 献 C1]J．Terrell，Phy．Bey．116(1959)，1041．． [2]V．F．Weisskopf。Phy。~oday，13(Sep．1960),24．